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Mathe-Treff: Lösung der Abituraufgabe GK Analysis
von Maike Schmidt, Gesamtschule Hardt Mönchengladbach

Lösung der Abituraufgabe für den Grundkurs Mathematik.
Teilbereich: Analysis.

zu a)

Ableitungen: 
fa’(x) = 3ax2 - 6ax ; fa’’(x) = 6ax - 6a ; fa’’’(x) = 6a

Nullstellen: 
ax3 - 3ax2 = 0 Û x1/2 = 0 Ú x3 = 3

Extrema: 
notw. Bdg.: fa´(x) = 0 Û 3ax2 - 6ax = 0 Û 3ax (x - 2) = 0
Û
xe1 = 0 Ú xe2 = 2
hinr. Bdg.: fa´´(x) ¹ 0
fa’’(0) = -6a < 0 Þ HP(0;0)
fa’’(2) = 12a -6a = 6a > 0 Þ TP(2;-4a)

Wendepunkte: 
notw. Bdg.: fa´´(x) = 0 Û 6ax - 6a = 0 Û xw = 1
hinr. Bdg.: fa´´´(x) ¹ 0; fa’’’(1) = 6a ¹ 0 Þ WP(1;-2a)

zu b)

Skizze der Funktionsgraphen von f1 und f2

 

Aufgabe 1c: 

Einfluss des Parameterwerts auf den Verlauf des Graphen

  • Wende-, Extrem- und Nullstelle sind unabhängig von a (es ändern sich nur die y-Koordinaten des Extremums und des Wendepunkts)
  • für a > 1 wird der Graph (zunehmend) gestreckt
  • für 0 < a < 1 wird der Graph (zunehmend) gestaucht
  • für a < 0 sind die "entsprechenden" Graphen von fa mit a > 0 lediglich an der x-Achse gespiegelt
    (HP wird zu TP und umgekehrt; fa (x) = -f-a (x))

Aufgabe 1d

Breiteste Stelle des Kelches ist an der Extremstelle des Funktionsgraphens, nach Teil b) also x = 2 mit f1(2) = -4 .
Man muss eine weitere Stelle ermitteln, für die f1(x) = -4 gilt, um die Höhe des Fußes zu bestimmen.
x3 - 3 x2 = -4 Û x3 - 3 x2 + 4 = 0
Mit Polynomdiv.: (x3 - 3 x2 + 4) : (x - 2) = x2 - x - 2 (Nullstelle x1 = 2 bekannt)
x2 - x - 2 = 0 Û x2 = 2 Ú x3 = -1
Þ
Auch für x = -1 gilt: f1(-1) = -4 Þ Die Höhe des Fußes beträgt 1 LE .

Aufgabe 1e

Die Füllmenge entspricht dem Volumen des Rotationskörpers über [0;2].

Þ
Die Füllmenge beträgt 37,34 VE.

Aufgabentext - Unterrichtliche Voraussetzungen