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Mathe-Treff: Lösung der
Abituraufgabe GK Lineare Geometrie/Algebra

Lösung der Abituraufgabe für den Grundkurs Mathematik.
Teilbereich: Lineare Geometrie/Algebra (1 Halbjahr).

  1. x2=0 Ùx3=0 Þ A(3/0/0)
    x1=0 Ù x3=0 Þ B(0/3/0)
    x1=0 Ù x2=0 Þ C(0/0/6)
    Zeichnung siehe unten.

    Aus den Spurpunkten folgt direkt:
    E: ; r, s Î IR.

    zweiter Weg: LGS 2x1 + 2x2 + x3 = 6 lösen.
  2. Es liegt eine schräge Parallelprojektion (Kavalierprojektion) in der x1-x3-Ebene vor mit:

    Þ Projektionsmatrix P =
    Projektionsrichtung:
    LGS lösen:
    direkt: x3= r Î IR


    Lösungen sind: , rÎ IR
    Die Projektionsrichtung ist durch den Vektor gegeben.
  3. Normalvektoren sind: ,
    cosÐ (E;E1) = cos=cos
  4. Die Gerade g ist die Spurgerade von E in der x2-x3-Ebene und verläuft durch die Eckpunkte B und C des Tetraeders. Aus den Gleichungen von E1 und E ergibt sich:

    x3=r‘Î IR

    x1=0
    Lösung: r‘Î IR
    g: , rÎ IR
    zweiter Weg:
    Ergebnisse aus a) benutzen:
    ; sÎ IR.


  5. .

    Für die Zeichnung ist noch zu berechnen:

    Zeichnung siehe unten.
  6. Es sind zwei Punkte auf der Bildgeraden zu bestimmen.
    Es liegen z. B. B (0/3/0) und C (0/0/6) auf h. (Andere naheliegende Punkte: P (0/2/2) für s=0 und Q (0/1/4) für s=1).
    Aus e) folgt direkt für die Bildpunkte:
    (Fixpunkt)
    und
    rÎIR.

Ergänzung:

Die Gerade h ist mit der Geraden g identisch. h´ ist damit die Gerade durch die Eckpunkte B´ und C´=C des gedrehten Tetraeders. Die Angabe einer Gleichung im Text war erforderlich; um Teil f) unabhängig von e) zu machen. Die Parameterform von g wurde verändert, um nicht zu starke Hilfe für e) zu geben.

Aufgabentext - Unterrichtliche Voraussetzungen