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Mathe-Treff: Abituraufgabe GK Lineare Algebra

Abituraufgabe für den Grundkurs Mathematik.
Teilbereich: Lineare Geometrie/Algebra.

Ein Ausstellungsgelände umfasst Hallen (H) und ein Freigelände (F).
In unserem Modell soll von folgenden Annahmen ausgegangen werden:

  • Um 9.00 Uhr betreten 12 000 Besucher zunächst das Freigelände und wandern dann in der Ausstellung umher.
  • Es kommen im Beobachtungszeitraum keine Besucher hinzu und es verlassen keine die Ausstellung.
  • Nach jeder Stunde halten sich 50 % der Hallenbesucher noch in der Halle auf, 75 % der Besucher des Freigeländes sind dann noch im Freigelände.

Die Verteilung der Besucher nach n Stunden kann man durch einen Zustandsvektor beschreiben.
Anfangsverteilung ist .

  1. Zeigen Sie, dass für die Übergangsmatrix gilt: = .
    Welche Art Matrix liegt hier vor?
    Berechnen Sie die absolute Besucherverteilung um 10.00 Uhr, 11.00 Uhr und 12.00 Uhr.
  2. Legen Sie dar, welche Bedeutung die Fixverteilung und die Grenzverteilung in diesem Falle haben.
    Berechnen Sie die Fixverteilung.
  3. Zeigen Sie, dass die Fixverteilung mit der Grenzverteilung identisch ist.
    Zur Kontrolle: Für Hn gilt: Hn = .
  4. Die Matrix sei nun die Abbildungsmatrix einer linearen Abbildung a :
    Untersuchen Sie die Abbildung a auf Fixpunkte und Fixgeraden.

Erwartungshorizont