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Mathe-Treff: Lösung der
Abituraufgabe GK Lineare Geometrie/Algebra

Lösung der Abituraufgabe für den Grundkurs Mathematik.
Teilbereich: Lineare Geometrie/Algebra

a) Übergangsmatrix A

  von  
nach Halle Freigelände
Halle 0,5 0,25
Freigelände 0,5 0,75

 

10.00:
11.00:
12.00:

b)

führt auf die Gleichung
Zusammen mit der Bedingung H + F = 12000 erhält man die Lösung H = 4000, F = 8000.
ist die Fixverteilung.
Bei der Fixverteilung bleiben Zufluß und Abfluß gleich.
Falls eine Grenzverteilung existiert, nähert sich die Verteilung für dieser Grenzverteilung immer mehr an.

c)



usw.
geometrische Reihe
.
Damit ist gezeigt: Grenzverteilung = Fixverteilung.

d)
Fixpunkte:

frei wählen


Alle Fixpunkte liegen auf einer Geraden, der Fixpunktgeraden
.
Fixgeraden:


Die charakteristische Gleichung lautet

Der Eigenwert führt auf den Eigenvektor , der Eigenraum ist die Fixgerade g (siehe oben).
Für den Eigenwert folgt:
Eigenvektor ist und Eigenraum ist die Gerade

Nach einem den Schülern bekannten Satz über Fixgeraden bei der Existenz von Fixpunkten, haben alle Fixgeraden die Gleichung

Diese Fixgeraden bilden also eine Geradenschar parallel zur zweiten Winkelhalbierenden.

Aufgabentext