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Mathe-Treff: Lösung der Abituraufgabe GK Lineare Geometrie/Algebra
von Dr. Norbert Esper, Michael-Ende-Gymnasium Tönisvorst

Lösung der Abituraufgabe für den Grundkurs Mathematik.
Teilbereich: Lineare Geometrie/Algebra.

zu a)

Der Einheitsvektor auf der dreidimensionale x-Achse wird auf den Vektor (-0,5/-0,5) im zweidimensionalen xy-Koordinatensystem abgebildet. Entsprechend werden der dreidimensionale y-Einheitsvektor auf (1/-0,25) und der Einheitsvektor auf der z-Achse auf (0/1), d.h. auf die zweidimensionale y-Achse mit der Länge 1 projiziert.

zu b)

Die angegebenen Vektoren (Punkte) werden wie folgt projiziert:
A auf (0,5/0,25)
C auf (1,5/-2,5)
E auf (0/-0,5)

zu c

Die Drehmatrizen lauten:

und

Die zweite Matrix ergibt sich aus der Drehung durch folgende Zeichnung:

zu d)

Bildet man bei den beiden Matrizen die zwölfte Potenz, so erhält man die Einheitsmatrix, d.h., es ergibt sich die identische Abbildung.

zu e)

E hat die Koordinaten (4/2/3), C (5/4/1).
Der Richtungsvektor E – C ergibt sich also zu (-1/-2/2).
Damit kann die Gerade geschrieben werden als G : X = E + n(E-C) = (4/2/3) + n(-1/-2/2).
Eingegeben wird die Gerade im Rechner als Folge von zu verbindenden Punkten:
seq({4-n,2-2n,3+2n},n,-10,10)
In der Zeichnung ergibt sich:

zu f) 

In der xy-Ebene ist die z-Komponente gleich 0. Aus der Geradengleichung ist zu ersehen, dass damit 3+2n = 0 sein muss. Daraus folgt, dass n den Wert –1,5 einnehmen muss. Der Punkt lautet damit: (5,5/5/0).

zu g)

Die Gleichung der Geraden, die durch die Punkte B und C verläuft, kann geschrieben werden als
g : X = B + n(B-C) = (5/1/1) + n(0/-3/0)
Der Vektor von E zu dieser Geraden ist also
E – ((5/1/1) + n(0/-3/0)) = (-1/1+3n/2).
Da die erste und dritte Komponente unabhängig von n sind, wird die Länge durch die zweite Komponente bestimmt. Bei der Bestimmung der Länge werden die Komponenten quadriert und addiert. Die Länge ist also minimal, wenn das Quadrat der zweiten Komponente minimal ist, d.h., der Betrag minimal ist. Dies ist für n= -1/3 der Fall, da dann der Wert Null ist.
Der gesuchte Punkt ist also (5/2/1).

Aufgabentext - Unterrichtliche Voraussetzungen