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Mathe-Treff: Abituraufgabe GK Stochastik

Abituraufgabe für den Grundkurs Mathematik.
Teilbereich: Stochastik (1 Halbjahr)

Eine Firma für Fahrradzubehör stellt unter anderem Fahrradschläuche her. Es ist davon auszugehen, daß ein Anteil von 10% der Produktion wegen gewisser Defekte unbrauchbar ist.

  1. Der laufenden Produktion werden zufällig 15 Schläuche entnommen. Berechne die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:
    E1: "Alle entnommenen Schläuche sind in Ordnung."
    E2: "Nur der zweite und der fünfte entnommene Schlauch sind defekt."
    E3: "Genau zwei der entnommenen Schläuche sind defekt."
  2. Ein Versandkarton enthält jeweils 50 Schläuche. Die Zufallsgröße X ordne jeder möglichen Bestückung des Kartons die Anzahl der defekten Schläuche zu.
  1. Berechne den Erwartungswert m (x) und die Standardabweichung d (x). Zeichne das Stabdiagramm und das Polygon der Wahrscheinlichkeitsfunktion p der Zufallsgröße X über [0;12] in ein geeignetes Koordinatensystem. Kennzeichne das Intervall
    I = [m (x) – d (x); m (x) + d (x)].
  2. Berechne die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:
    E1 = {x£ 3} ;
    E2 : "Die Anzahl der defekten Schläuche pro Karton liegt im Intervall I."
  3. Wie viele Schläuche dürfen pro Versandkarton höchstens verpackt werden, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 90% maximal 3 defekte Schläuche enthalten sind?
  1. Bei den defekten Schläuchen sind genau zwei verschiedene Fehler F1 und F2 möglich, die voneinander unabhängig auftreten. Es gilt P(F1)=0,028.
    Mit welcher Wahrscheinlichkeit tritt der Fehler F2 auf?
    (Anleitung: Betrachte das Ereignis "Mindestens einer der beiden Fehler tritt auf.")
    Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß ein Schlauch mit Fehler F1 auch den Fehler F2 aufweist?
  2. Ein Fahrradhändler erhält von der Zubehörfirma 10 Versandkartons mit je 50 Schläuchen. Jedem Karton entnimmt er zufällig 3 Schläuche und überprüft sie. Er nimmt einen Karton nur an, wenn er alle 3 entnommenen Schläuche für einwandfrei hält.
    Unterscheide die beiden folgenden Annahmen:

    Annahme A: Der Händler stellt vorhandene Defekte sicher fest.
    Annahme B: Der Händler stellt vorhandene Defekt nur in 80% aller Fälle fest.

    Gehe zunächst von Annahme A aus und berechne die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:

    E1 : "Der erste der 10 Kartons wird angenommen."
    E2 : "Mindestens 9 der 10 Kartons werden angenommen."

    Gehe nun von Annahme B aus. Erläutere, in welcher Weise die Berechnung abzuändern wären (Rechnung nicht ausführen!). Welchen Einfluß hätte das auf die Wahrscheinlichkeiten? Begründe jeweils.

Anlage: Tafeln zur Binomialverteilung

Unterrichtliche Voraussetzungen - Erwartungshorizont