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Mathe-Treff: Abituraufgabe GK Stochastik
von Dr. Norbert Esper, Michael-Ende-Gymnasium Tönisvorst

Abituraufgabe für den Grundkurs Mathematik.
Teilbereich: Stochastik (1 Halbjahr)

Der Verlauf einer Krankheitsepidemie soll untersucht werden.

  1. Es werden 50 Gruppen mit jeweils 12 Personen betrachtet. Dabei ergeben sich folgende Anzahlen von Krankheitsfällen:

Anzahl der Erkrankte in der 12er-Gruppe

Anzahl der Gruppen mit dieser Erkranktenanzahl

0

0

1

0

2

0

3

0

4

0

5

1

6

2

7

2

8

9

9

10

10

14

11

11

12

1

  1. Wie viel Personen sind insgesamt von allen Untersuchten erkrankt, wie viel Prozent sind das?
  2. Wie verteilen sich die 50 Gruppen auf die einzelnen Anzahlen von Erkrankten? Berechnen Sie dazu die relativen Häufigkeiten bezogen auf 50.
  3. Es wird behauptet, dass 80% der Personen erkranken. Welche Wahrscheinlichkeiten sind bei Personengruppen von 12 Personen bei einer Krankheitsrate von 80% zu erwarten? Vergleichen Sie diese Werte mit den in b) ermittelten, nachdem Sie die Wahrscheinlichkeiten berechnet und zusammen mit denen aus b) in ein Koordinatensystem eingezeichnet haben.
  4. Vergleichen Sie die Lage von Erwartungswert und Standardabweichung der Binomialverteilung mit den entsprechenden Werten der gemessenen Verteilung.
  1. In einer Stadt mit 80000 Einwohnern wird die Epidemie genauer untersucht. Im Laufe der Zeit entstehen insgesamt fünf Gruppen:
  • die Gesunden (G)
  • die leicht Erkrankten (E)
  • die schwer Erkrankten (S), die ins Krankenhaus kommen,
  • die schwer Erkrankten (Q), die in Quarantäne, d.h. auf eine Isolierstation kommen
  • die Gruppe derjenigen (I), die erkrank waren, jedoch inzwischen wieder geheilt wurden und nun immun gegen die Krankheit sind.
  •  

Zu Beginn gibt es 80000 Gesunde.

Man registriert in der Stadt von Woche zu Woche folgende Übergänge:

  • 15% der Gesunden erkranken zunächst leicht.
  • Die leicht Erkrankten werden behandelt. 90% werden geheilt, 8% bleiben leicht erkrankt, so dass die Behandlung wiederholt werden muss. Bei 2% verschlechtert sich der Zustand, so dass sie in die Gruppe der schwer Erkrankten aufgenommen werden müssen.
  • Die schwer Erkrankten erhalten ein sehr starkes Medikament. 80% von ihnen werden dadurch geheilt, 15% bleiben jedoch schwer krank, so dass die Behandlung wiederholt werden muss. Bei 5% ist eine Aufnahme in die Isolierstation notwendig.
  • 10% der Patienten der Isolierstation werden geheilt, der Rest muss auf der Isolierstation bleiben.
  1. Untersuchen Sie den Verlauf der Erkrankungen in den ersten sechs Wochen, indem Sie jeweilige Anzahlen notieren.
  2. Wann erreichen die jeweiligen Anzahlen der leicht und schwer Erkrankten ihre Höhepunkte?
  3. Geben Sie die Übergangsmatrix für den Verlauf nach sechs Wochen an. Bestimmen Sie aus dieser Matrix die Prozentzahl der zu Beginn Gesunden, die nach Ablauf dieser Zeit leicht, schwer oder sehr schwer erkrankt sind.
  4. Gibt es einen Stabililtätszustand?

Unterrichtliche Voraussetzungen - Erwartungshorizont