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Mathe-Treff: Abituraufgabe GK Stochastik
von Dr. Norbert Esper, Michael-Ende-Gymnasium Tönisvorst

Lösung der Abituraufgabe für den Grundkurs Mathematik.
Teilbereich: Stochastik (1 Halbjahr).

zu 1: (aus 13.1)

zu a) Insgesamt wurden 50 Gruppen mit jeweils 12 Personen gleich 600 Personen untersucht, davon sind 466 erkrankt. Dies lässt sich berechnen, indem man jeweils die Anzahl der Erkrankten mit der Anzahl der Gruppen mit dieser Krankheitsanzahl multipliziert und diese Produkte addiert.

Es sind also 77,67%.

zu b)

zu c)

Die graphische Darstellung ergibt dann:

Die Kreuze geben die gemessenen relativen Häufigkeiten, die Kästchen, welche durch die Linie verbunden werden, stellen die Werte der Binomialverteilung dar. Man erkennt eine akzeptable Annäherung mit demselben Maximum. Die Aufgabe kann auch als Alternativtest bearbeitet werden.

zu d)

Der Erwartungswert der Binomialverteilung zu p = 0,80 und n = 12 beträgt 9,6, die Standardabweichung 1,38. Bei der gemessenen Verteilung erhält man:

Man erkennt, dass der Mittelwert fast mit dem Erwartungswert übereinstimmt. Auch die Standardabweichung entspricht fast der empirischen Standardabweichung. Der Mittelwert liegt mit 9,32 in der б-Umgebung des Erwartungswertes der Binomialverteilung, genauso wie der Erwartungswert in der s-Umgebung des Mittelwertes liegt. Dies deutet auf eine sehr gute Übereinstimmung der beiden Verteilungen hin.

zu 2) (aus 12.2)

zu a)

Die Übergangsmatrix hat folgende Form

Startwert und die weiteren Werte lauten:

zu b) Es ist zu erkennen, dass die leicht Erkrankten in der ersten Woche ihren Höhepunkt haben, die schwer Erkrankten in der dritten.

zu c) Die entsprechende Übergangsmatrix berechnet sich als sechste Potenz der Ausgangsmatrix:

Aus der Matrix lassen sich die gesuchten Werte ablesen:

7,35% der zu Beginn Gesunden sind zu diesem Zeitpunkt leicht erkrankt, 0,21% schwer erkrankt und 0,05% auf der Isolierstation.

Zu d) Es sind die Eigenvektoren zu bestimmen. Dazu wird die Gleichung

ev* Uebergangsmatrix = ev bzw. ev*(Uebergangsmatrix – ID(5)) = 0

gelöst. Dabei ist zu beachten, dass der Eigenvektor ev ein Zeilenvektor ist.

Die Matrix wird nun transponiert:

Damit ergibt sich als Lösung die Menge der Vektoren (0,0,0,0,t), mit t aus der Menge R³.

Überprüfung:

Ein Stabilitätszustand wird also nur dann erreicht, wenn alle Personen zur Gruppe I gehören, also geheilt sind. (Anforderungsbereich III)

Eine Näherungslösung erhält man auch, wenn man die Übergangsmatrix solange potenziert, bis sich keine Veränderungen mehr ergeben. Dies führt zu einer Matrix, bei der alle Koeffizienten, bis auf den an der Stelle Zeile 5, Spalte 5 näherungsweise gleich 0 und dieser gleich 1 ist. Als Stabilitätsvektor ergibt sich damit auch (0,0,0,0,80000).

Aufgabentext - Unterrichtliche Voraussetzungen