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Mathe-Treff: Abituraufgabe LK Analysis

Abituraufgabe für den Leistungskurs Mathematik.
Teilbereich: Analysis.

Ungekürzte Fassung nach den alten Zeitrichtlinien (Dauer: 5 Zeitstunden).

Durch , , sei eine Menge von Funktionen fa gegeben. Jede dieser Funktionen sei über der größtmöglichen Menge definiert.

  1. Ermitteln Sie die Definitionsmenge Da. Untersuchen Sie die Funktionen fa auf Nullstellen, ihr Verhalten an den Rändern von Da sowie Monotonie. Geben Sie die Koordinaten von Extrem- und Schnittpunkten mit der y-Achse an.
  2. Skizzieren Sie die Graphen von f1 und f0,25. Falls hierdurch noch nicht alle Typen von fa repräsentiert sind, deuten Sie die fehlenden in demselben Koordinatensystem an. (Hinweis: Die Graphen von f1 und von f0,25 haben je genau einen Wendepunkt. Eine Untersuchung hierzu ist nicht erforderlich.)

In den folgenden Teilaufgaben sei a = 1. Statt f1 schreiben wir f.

  1. Aus den bisherigen Ergebnissen läßt sich der Verlauf des Graphen von F mit , ermitteln. Untersuchen Sie F insbesondere auf Nullstellen, Stellen mit horizontaler Tangente und Wendestellen. Skizzieren Sie den Graphen von F unter Verwendung von und der Steigung der Wendetangente.
  2. F läßt sich durch darstellen. Bilden Sie zum Nachweis die Ableitung. Was müßte für einen vollständigen Nachweis außerdem noch gezeigt werden? (Die Durchführung dieser Schritte ist nicht erforderlich.)
  3. Zeigen Sie, daß sich der nach rechts nicht begrenzten Fläche zwischen dem Graphen von f und der x-Achse die Maßzahl p/2 zuordnen läßt. Welche zusätzliche Information erhält man hieraus für die Skizze zu c)?

Gekürzte Fassung

Unterrichtliche Voraussetzungen - Erwartungshorizon der ungekürzten Fassung