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Mathe-Treff: Abituraufgabe LK Analysis

Abituraufgabe für den Leistungskurs Mathematik.
Teilbereich: Analysis.

Gekürzte Fassung nach den neuen Zeitrichtlinien (Dauer: 4,25 Zeitstunden)

Geänderte oder gekürzte Aufgabenteile sind in kursiv gesetzt.

Durch , >0, sei eine Menge von Funktionen fa gegeben. Jede dieser Funktionen sei über der größtmöglichen Menge definiert.

  1. Ermitteln Sie die Definitionsmenge Da. Untersuchen Sie die Funktionen fa auf Nullstellen, ihr Verhalten für x ® ¥ sowie Monotonie.
  2. Zeigen Sie nur mit Hilfe der 1. Ableitung: Die Funktionen haben jeweils genau ein lokales Minimum. Geben Sie die Koordinaten von Extrempunkten und Schnittpunkten mit der y-Achse an.
  3. Skizzieren Sie die Graphen von f1, f0,25, f2. (Hinweis: Die Graphen von f1 und von f0,25 haben je genau einen Wendepunkt. Eine Untersuchung hierzu ist nicht erforderlich.)

In den folgenden Teilaufgaben sei a = 1. Statt f1 schreiben wir f.

  1. Aus den bisherigen Ergebnissen läßt sich der Verlauf des Graphen von F mit , ermitteln. Untersuchen Sie F insbesondere auf Nullstellen, Stellen mit horizontaler Tangente und Wendestellen. Skizzieren Sie den Graphen von F unter Verwendung von und der Steigung der Wendetangente.
  2. F läßt sich durch darstellen. Bilden Sie zum Nachweis die Ableitung. Was müßte für einen vollständigen Nachweis außerdem noch gezeigt werden? (Die Durchführung dieser Schritte ist nicht erforderlich.)
  3. Zeigen Sie, daß sich der nach rechts nicht begrenzten Fläche zwischen dem Graphen von f und der x-Achse die Maßzahl p/2 zuordnen läßt. Welche zusätzliche Information erhält man hieraus für die Skizze zu c)?

Ungekürzte Fassung

Unterrichtliche Voraussetzungen - Erwartungshorizont der ungekürzten Fassung