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Mathe-Treff: Lösung der Abituraufgabe LK Analysis

Lösung der Abituraufgabe für den Leistungskurs Mathematik.
Teilbereich: Analysis.

  1. Definitionsmengen: h(x)>0 für alle

    ga(x) ist definiert für alle mit ex ³ a

    Fall I : a £ 0 : Da = IR

    Fall II : a > 0 : ex ³ a Û x ³ ln a;

    Nullstellen: fa(x)=0 Û ga(x)=0 Û ex-a=0

    Fall I : a £ 0 : fa hat keine Nullstellen

    Fall II : a > 0 : ln a ist einzige Nullstelle, da für alle x>lna gilt: fa(x)>0

    Verhalten an den Rändern von Da:

    Fall I : a £ 0 : unbestimmt.

    Fall II : a > 0 : (s. Fall I)

    Monotonie:

    , da in

    Fall I : a£ 0 : N(x)>0 für alle x Î Da ; Z(x)<0 für alle x Î Da; fa ist streng monoton fallend über Da=IR

    Fall II : a > 0 : N(x)>0 für alle x Î Da mit x>lna

    fa hat bei ln 2a eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von + nach -

    fa ist streng monoton steigend für x<ln 2a und streng monoton fallend für x>ln 2a

    fa(ln2a) = , also H )

    Schnittpunkt P mit der y-Achse:

    fa(0) =

    Fall I : a£0 : . Der Schnittpunkt P existiert für alle a und liegt oberhalb von oder in (0/1)

    Fall II : a > 0 : ist nur für a £ 1 definiert; für a > 1 liegt 0 nicht in Da: lna > 0.

    Für 0<a£ 1 existiert P und liegt zwischen (0/1) und (0/0), wobei (0/1) aus- und (0/0) eingeschlossen ist.

  2. f1 und f0,25 gehören zum Typ II.

    f-1 gehört zum Typ I.

    f2 gehört zum Typ II, der Graph hat aber keinen Punkt auf der y-Achse.

  3. f1 = f ist über IR0+ stetig, also integrierbar.

    0 ist die einzige Nullstelle von F, denn für x>0 gilt F '(x)=f(x)>0, also ist F über IR+ streng monoton steigend.

    F '(x)=0 Û f(x)=0 Û x=0. F hat bei 0 (von rechts) die Steigung 0 und sonst keine Stellen mit horizontaler Tangente.

    F"(x)=0 Û f '(x)=0 Û x=ln2. f hat bei ln2 eine lokales Maximum, also ist ln2 eine L-R-Wendestelle von F; F hat keine weiteren Wendestellen.

    Steigung bei xw: F '(x)=f(ln2)= 1/2

  4. Hierbei wurde ex-1>0, also x>0 vorausgesetzt. Die angegebene Funktion ist also über IR + Stammfunktion in f. Zum vollständigen Nachweis müßte noch die Anfangsbedingung F(0)=0 geprüft werden; außerdem wäre zu zeigen, daß F bei 0 von rechts differenzierbar ist.

  5. Da f über IR+ stetig ist und keine negativen Werte annimmt, stimmt die gesuchte Maßzahl überein mit

    Zu bestimmen ist also

    (s. Lösung zu a), Fall II mit a=1)

    , denn und

    ist waagerechte Asymptote der arctan-Funktion (Spiegelung des auf beschränkten tan-Graphen an der Winkelhalbierenden des 1. und 3. Quadranten).

    Also gilt: , q.e.d.

    Für die Skizze zu c) bedeutet das: Der Graph der Integralfunktion hat als waagerechte Asymptote.

Aufgabentext - Unterrichtliche Voraussetzungen