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Mathe-Treff: Abituraufgabe LK Analysis

Unterrichtliche Voraussetzungen zur
Abituraufgabe für den Leistungskurs Mathematik.
Teilbereich: Analysis.

Die Aufgabe lehnt sich an eine in Bayern 1970 zentral gestellte Abituraufgabe an. Quelle: Keil u. a., Analysis 2, München 1976, S. 368. Sie weicht in den Teilen a), b) und d) von dem Vorbild ab.

Die Schüler sind in der Untersuchung von Exponentialfunktionen geübt und haben umfangreiche Erfahrungen in der Untersuchung von Funktionenscharen, insbesondere auch mit Fallunterscheidung. Wurzelfunktionen sind ihnen weniger geläufig. Die Kombination dieser drei Aspekte in den Teilaufgaben a) und b) ist für die Schüler neu, so daß a) überwiegend dem Anforderungsbereich II angehört. Die Anwendung der L´Hospitalschen Regel wird erwartet.

Aus den Eigenschaften einer Funktion auf die Eigenschaften der Integralfunktion zu schließen, ist eine aus der Einführung in die Integralrechnung vertraute, seitdem aber kaum mehr geübte Aufgabe. Teilaufgabe c) verlangt außer Grundkenntnissen über den Zusammenhang Funktion/Ableitung nur eine Umdeutung der Eigenschaften von f = F ' und ist somit den Anforderungsbereichen I und II zuzuordnen.

In d) wurde die Stammfunktion angegeben, damit e) unabhängig von d) gelöst werden kann. Die Differentiation ist nicht einfach (zweimalige Anwendung der Kettenregel, Ableitung der wenig vertrauten arctan-Funktion; Benutzung der Formelsammlung ist erlaubt.). Zum vollständigen Nachweis, daß die angegebene Funktion mit der Integralfunktion aus c) identisch ist, gehört noch die Prüfung der Randbedingung F(0) 0 sowie der Nachweis, daß F bei 0 rechtsseitig differenzierbar ist, da F ' = f nur für x>0 gezeigt wurde. Auf die Durchführung dieser zusätzlichen Schritte wurde verzichtet, um die Aufgabe nicht zu umfangreich werden zu lassen. d) liegt im oberen Anforderungsbereich II und reicht mit der Zusatzfrage zur Differenzierbarkeit in das Niveau III.

Auch e) verlangt erhöhte Selbständigkeit von den Schülern. Diese Teilaufgabe bietet zwar technisch keine Schwierigkeiten, und die Berechnung von ins Unendliche reichenden Flächen wurde geübt. Zur Lösung der Aufgabe muß aber erkannt werden, daß gilt, wobei zu berücksichtigen ist. Die Schüler müssen auf den Graphen der tan-Funktion zurückgreifen, da die arctan-Funktion nur beiläufig erwähnt wurde. Obgleich die Mitteilung des Ergebnisses eine Erleichterung darstellt, gehört e) zum Anforderungsbereich III.

Aufgabenstellung - Erwartungshorizont