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Mathe-Treff: Abituraufgabe LK Analysis
von Norbert Hülsbusch, Steinbart-Gymnasium Duisburg

Abituraufgabe für den Leistungskurs Mathematik.
Teilbereich: Analysis.

Die Operation "Potenzieren" ist nicht kommutativ, ist nicht allgemeingültig. Aber über den trivialen Fall a = b hinaus gibt es doch auch Paare, die dieser Gleichung genügen, etwa .
Aber dann wird es schon schwieriger. Wer kommt schon spontan auf ?
Diese Aufgabe soll die vorgestellte Problematik etwas verdeutlichen und beleuchten.

Skizze:

  1. Erläutern Sie anhand der Skizze, dass für die eingezeichneten Werte x und y die Gleichung erfüllt ist.
  2. Zu jedem x > 1 gibt es – wie die Skizze verdeutlicht – genau ein mit , ausgenommen eine einzige Stelle c , an der nur der Fall x = y (= c ) möglich ist. Welcher Wert ist gemeint? (Lösung: c = e)
  3. Die wohl bekannteste Intervallschachtelung für die Zahl e ist gegeben durch die beiden Zahlenfolgen mit den Gleichungen und .
    Zeigen Sie, dass allgemein gilt: .
  4. Erläutern Sie anhand der Skizze, wieso die Steigungen aller Sekanten durch die Punkte (0/ 0), (x/ lnx), (y/ lny) mit kleiner sind als .
  5. Martin Gardner, ehemaliger Moderator der Mathematik-Columne in "Scientific American" stellte dort einmal die Frage: "Welche Zahl ist größer, oder ? (Rechner sind zur Lösung natürlich nicht erlaubt.)
    Leiten Sie unter Einbeziehung des Ergebnisses aus Teil d) eine Antwort auf diese Frage her.
  6. Die in Teil f) betrachtete Fragestellung läßt sich etwa auch dadurch lösen, dass man nachweist, dass die Funktion , (x > 0) ein absolutes Minimum vom Wert 1 hat. Lösen Sie diese Extremwertaufgabe mit Methoden der Analysis und leiten Sie aus dem Ergebnis den Größenvergleich zwischen und her.

Unterrichtliche Voraussetzungen (liegen nicht vor) - Erwartungshorizont