brlogo
untitled
   
   
   
 

Mathe-Treff: Lösung der Abituraufgabe LK Analysis
von Norbert Hülsbusch, Steinbart-Gymnasium Duisburg

Abituraufgabe für den Leistungskurs Mathematik.
Teilbereich: Analysis.

  1. Anwendung des 2. Strahlensatzes auf die Skizze ergibt:
    1/x * ln(x) = 1/y * ln(y)
    y * ln(x) = x * ln(y)
    ey * ln(x) = ex * ln(y)
    xy = yx.
  2. Man konstruiert die Tangente an den Graphen von ln durch den Ursprung. Berührpunkt sei (c;ln(c)). Es gilt:
    1/c * ln(c) = ln'(c) = 1/c
    ln(c) = 1
    c = e .
  3. xnyn = ynxn
    yn * ln(xn) = xn * ln(yn)
    (1+1/n)n+1 * n * ln(1+1/n) = (1+1/n)n * (n+1) * ln(1+1/n)
    Nach Division beider Seiten durch den von 0 verschiedenen Term (1+1/n)n * ln(1+1/n) ergibt sich:
    (1+1/n) * n = n+1
    n+1 = n+1.
    Die letzte Zeile ist allgemeingültig, also auch die erste.
  4. f(x) = ex - e * ln(x)
    f '(x) = ex - e * ln(x) * (1 - e/x) = f(x) * (1 - e/x)
    f ''(x) = f'(x) * (1-e/x) + f(x) * e/(x2) = f(x) * [(1-e/x)2 + e/(x2)]
    Notwendiges Kriterium für ein lokales Extremum ist : f '(xE) = 0
    Rechnung:
    f '(x) = 0
    f(x)* (1-e/x) = 0
    1 = e/x
    x = e (da ja f(x) > 0)
    Hinreichendes Kriterium für ein lokales Extremum ist : f '(xE) = 0 und f ''(xE) # 0
    Rechnung:
    f ''(e) = 0 + f(e) * 1/e = 1/e > 0.
    f hat also bei e ein lokales Minimum vom Wert f(e) = 1 . Als einziges lokales Extremum einer stetigen Funktion über einem zusammenhängenden Bereich der x-Achse ist es auch absolut.
    Für alle x > 0 gilt folglich:
    f(x) >= 1
    ex - e * ln(x) >= 1
    ex/( ee * ln(x)) >= 1
    ex >= xe.
    Für x # e ist sogar ex > xe.
  5. Es ist nach Teil d. : ex > xe für alle positiven x # e.
    Speziell folgt für x = pi: epi > pie.

Anmerkung: das Zeichen # steht für Ungleich.

Aufgabentext - Unterrichtliche Voraussetzungen (liegen nicht vor)