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Mathe-Treff: Abituraufgabe LK Analysis
von Heiner Platzbecker, Gymnasium Korschenbroich

Abituraufgabe für den Leistungskurs Mathematik.
Teilbereich: Analysis.

Generalhinweis: Du darfst bei der Lösung aller Aufgaben mit Derive rechnen, Du mußt aber alle Schritte klassisch begründen ( wie immer! ) !

Die Plancksche Energiekurve

Der spätere Nobelpreisträger Max Planck begründete mit einem revolutionären Vortrag im Dezember des Jahres 1900 die Quantenphysik. In diesem Vortrag spielte eine berühmte Kurve eine zentrale Rolle. Diese Kurve ist in modifizierter Form Gegenstand Deiner Abitur-klausur.

Gegeben ist die Funktionenschar ft durch ft ( x ) := mit t > 0 und x ³0.

  1. Bestimme die Ortskurve der Hochpunkte!
  2. Zeige: f1 (x) dx = 6 !
  3. Die Plancksche Energiekurve gibt an, wieviel Energie eine Wärmequelle ( z.B. unsere Sonne) bei einer vorgegebenen Temperatur t abstrahlt. Auf der x-Achse trägt man dazu die Wellenlängen der "Regenbogenfarben" ab. Ist z.B. t = 6000°C und x = rot, so gibt f6000 (rot) an, wieviel Energie die Sonne in dieser roten Farbe abstrahlt. Bei der Photosynthese absorbiert eine Pflanze Energie, um CO2 in O2 zu verwandeln. Berechne modellmäßig, wieviel Energie unsere Sonne im für die Photosynthese relevanten Bereich emittiert! Dazu sei t = 3 und x liege zwischen 0.08 und 0.1 . Berechne die von der Sonne abgegebene Energie, indem Du f3 (x) durch die ersten drei von Null verschiedenen Summanden der Taylorreihe ersetzt und damit rechnest!
  4. Die Plancksche Funktionenenschar lautet in Wirklichkeit:
    mit t > 0 und x ³ 0. Zeige:
    Der Funktionsterm der ersten Ableitung lautet: !
    Bestimme hiermit die Extremstellenkandidaten für x > 0 !

Unterrichtliche Voraussetzungen  - Erwartungshorizont