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Mathe-Treff: Abituraufgabe LK Analysis
von Heiner Platzbecker, Gymnasium Korschenbroich

Abituraufgabe für den Leistungskurs Mathematik.
Teilbereich: Analysis.

  1. Mit der Phantomfunktion f(x) = ax2+bx+c erhält man mit Hilfe dreier Meßwerte ein lineares Gleichungssystem, das Derive löst. Aus Symmetriegründen kann b=0 angesetzt werden. V1:=2*Pi*int((f(x)2,x,0,15.3) ergibt das Faßvolumen.
  2. Nichtlineare Gleichungssysteme löst Derive nicht. Wenn man die kleine Halbachse m=15.3 abliest, verbleibt eine Gleichung zur Berechnung von n. Durch Integration erhält man V2.
  3. Der Gag der Aufgabe steckt im Teil c) : Das Resultat der Berechnung mit Hilfe der Formel von Kepler muß mit dem Resultat aus Teil b) übereinstimmen. Kepler überträgt die Simpsonsche Flächenregel in den R3 . Im Teil a) integriert man bei der Berechnung des Paraboloidvolumens eine Funktion vierten Grades; im Teil b) integriert man zur Berechnung des Ellipsoidvolumens eine quadratische Funktion! Da die Simpsonformel Polynome bis zum Grad 3 exakt integriert, folgt die Behauptung. Im Unterricht sollte man aus meiner Sicht die Simpsonsche Flächenregel als "zweidimensionales" Integrationsverfahren und die Keplersche Faßregel als "dreidimensionales" Integrationsverfahren getrennt behandeln.

Aufgabentext - Unterrichtliche Voraussetzungen