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Mathe-Treff: Abituraufgabe LK Analysis
von Bernd Ottengraf, Gymnasium Mülhausen

Abituraufgabe für den Leistungskurs Mathematik.
Teilbereich: Analysis.

Bevölkerungswachstum und Einwanderung

Voraussetzung: Die Funktion f sei auf ganz IR definiert und differenzierbar.
Die Zahlen k und b seien beliebige positive reelle Konstanten.
Weiterhin gelte für beliebige x Î IR die Bedingung f(x) + > 0 .

  1. Löse die Differentialgleichung f´(x) = k·f(x) + b unter diesen Bedingungen!
    Zur Kontrolle: Die Lösungsgesamtheit ist durch mit a Î IR+ gegeben. (Statt fa,b,k(x) soll es hier nur kurz f(x) heißen.)
  2. Untersuche diese Funktionenschar auf Achsenschnittpunkte, Extrem- und Wendepunkte! Untersuche auch die Grenzwerte !
    (Es sollen wieder die Bedingungen k,b Î IR+ und f(x) + > 0  für x Î IR gelten.).
  3. Man betrachte jetzt modellhaft das Bevölkerungswachstum einer Großstadt!
    Annahmen: Dieses Wachstum werde genau durch eine Funktion f15000 in Abhängigkeit von t beschrieben, die die Differentialgleichung für t Î IR+0 gemäß Aufgabenteil 1 erfüllt.
    Dabei sei t die Zeit in Jahren und f15000(t) sei die Einwohnerzahl zum Zeitpunkt t.
    Die Größe k = 0,02/Jahr sei die konstante Wachstumsrate, die nur das Wachstum auf Grund von Geburten und Todesfällen beschreibe.
    Die Größe b = 15000/Jahr sei die konstante Zuwanderungsrate, die nur den Überschuss aus Ein- und Auswanderung beschreibe.
    Die Einwohnerzahl betrage zum Zeitpunkt t = 0 Jahre genau eine Million.
    Ist unter diesen Annahmen die Bedingung f(t)+ > 0 für beliebige t erfüllt?
    Bestimme die Lösungsfunktion unter der oben genannten Randbedingung!
  4. Wie lautet die Lösungsfunktion f5000, wenn alle Daten gleich bleiben, aber die konstante Zuwanderungsrate nur b = 5000/Jahr beträgt?
    Stelle beide Funktionen in einem gemeinsamen Koordinatensystem dar!
    (Zeichenbereich: [0 Jahre; 50 Jahre] ; 5 Jahre entspricht 1 cm und 1 Million entspricht 2 cm)
  5. Berechne: Zu welchen Zeitpunkten werden bei den beiden Wachstumsvorgängen mit b =15000/Jahr bzw. b = 5000/Jahr eine Einwohnerzahl von 3 Millionen erreicht?
  6. Wie groß darf eine konstante Zuwanderungsrate b höchstens sein, damit die Einwohnerzahl innerhalb von 50 Jahren die 3 Millionen-Grenze nicht überschreitet?
    Die konstante Wachstumsrate k und die Randbedingung f(0 Jahre) = 1 000 000 sollen gegenüber den Aufgabenteilen 3 und 4 unverändert bleiben.

Unterrichtliche Voraussetzungen  - Erwartungshorizont