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Mathe-Treff: Abituraufgabe LK Analysis
von Bärbel Barzel, Marie-Curie-Gymnasium Düsseldorf
und Norbert Roth, Julius Stursberg Gymnasium Neukirchen-Vluyn

Abituraufgabe für den Leistungskurs Mathematik.
Teilbereich: Analysis.

Wird die Höhe einer Sonnenblume während des Wachsens gemessen, so erhält man ungefähr nebenstehenden Verlauf.
  1. Zu Beginn der Messung beträgt die Höhe 0.1 (m).
    Nach 100 Tagen beträgt sie 1.27 (m). Nach 200 Tagen ist sie mit 2 (m) ausgewachsen.
    Bestimme eine ganzrationale Funktion 3. Grades, die die genannten Bedingungen erfüllt.
  1. Die Biologen gelangen mit Hilfe mathematischer Modellierung zu folgender Funktion.
    (1) , wobei t: Zeit in Tagen und r > 0 konstant

b1) Wie groß ist die Sonnenblume zu Beginn der Messung nach dieser Funktion?

b2) Zeige, dass h streng monoton steigend ist.

b3) Wie groß wird die Sonnenblume? Erläutere in diesem Zusammenhang die Grenzen dieses mathematischen Modells.

b4) Zu welchem Zeitpunkt ist die Wachstumsgeschwindigkeit am größten und wie groß ist dann die Sonnenblume?
Welche Bedeutung hat dieser Zeitpunkt in Bezug auf den Graphen von h?

b5) Welchen Einfluss hat r auf den Verlauf des Graphen? Benutze zur Beantwortung die bisherigen Ergebnisse und betrachte die Graphen für verschiedene Werte von r im Bereich des realistischen Wertes r=0.035.

b6) Allgemein kann logistisches Wachstum durch eine Funktion der Form dargestellt werden.
Bestimme a und b so, dass die Sonenblume zu Beginn der Messung 0.2 (m) groß ist und die Grenzhöhe 1.8 (m) beträgt.

  1. Als "momentane Wachstumsgeschwindigkeit bezogen auf eine Höheneinheit" wird definiert .

c1) Der Beginn des Wachstums lässt sich näherungsweise auch durch eine Exponentialfunktion beschreiben.
Untersuche, wie von t abhängt.

c2) hr sei die Funktion unter b) (siehe (1)).
Bestimme für den Wert g(0) und die Grenzwerte von g(t) für t ® ¥ und für t ® - ¥ .

c3) Zeige: , wobei hr die Funktion unter b) (siehe (1)) ist.

(Tipp: Nicht alles geht mit dem TI 92 einfacher. Je allgemeiner der Anfang, desto einfacher der Rest)

Unterrichtliche Voraussetzungen (liegen nicht vor) - Erwartungshorizont