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Mathe-Treff: Abituraufgabe LK Analysis
von Bärbel Barzel, Marie-Curie-Gymnasium Düsseldorf
und Norbert Roth, Julius Stursberg Gymnasium Neukirchen-Vluyn

Abituraufgabe für den Leistungskurs Mathematik.
Teilbereich: Analysis.

  1. Ansatz:
    x: Zeit in Tagen
    f(x): Höhe
    Bedingungen:
    f(0)=0,1
    f(100)=1,27
    f(200)=2
    f'(200)=0, da auch die Wachstumsgeschwindigkeit stetig und am Ende Null ist.
    Diese Bedingnungen führen zu einem Linearen Gleichungssystem mit der entsprechenden erweiterten Koeffizientenmatrix:


    Die Wachstumsfunktion lautet
  2.  
    1. h(0)=0,1. Zu Beginn der Messung ist die Sonnenblume 0,1 m groß.
    2. Ableitungen: ;
      h'(t)>0für alle t Î R. Þ Behauptung
    3. Wegen der strengen Monotonie gibt es keine relativen Extrema.
      Verhalten für t® ¥ : h(r,t) ® 2 (mit Grenzwertsätzen). horizontale Asymptote: y = 2
      Die Sonnenblume wird nicht größer als 2 m.
      Die reale Sonnenblume ist irgendwann ausgewachsen, die mathematische nicht.
      2m ist obere Grenze der mathematischen Sonnenblume, die reale Sonnenblume kann um einiges kleiner werden.
    4. h'(t) gibt die Wachstumsgeschwindigkeit zu einem Zeitpunkt t an. Gesucht ist also das Maximum von h'.
      notwendige Bedingung: h''(t)=0 Û t = ;
      Vorzeichenwechsel von h'' von + nach - .
      Zum Zeitpunkt t = ist also die Wachstumgeschwindigkeit am größten.
      Die Größe der Sonnenblume ist dann h(r,) =1 (m).
      Die Stelle t = ist Wendestelle des Graphen von h.
    5. Die bisherigen Ergebnisse zeigen, dass r keinen Einfluss auf die Anfangsgröße und die Endgröße hat. Lediglich die Wendestelle hängt von r ab. Die mit dem TI 92 gezeichneten Graphen weisen auf "schnelleres Wachstum" für größere r hin. (Genauere Analysen zeigen, dass die Graphen durch Streckung in t-Richtung auseinander hervorgehen.)
    6. h(t)®a  für t ® ¥  Þ a = 1,8. Also:
  3.  
    1. und ; g ist also unabhängig von t.
    2. , , und

    3. (allgemeine Lösung: ln(1+b) )

Aufgabentext - Unterrichtliche Voraussetzungen (liegen nicht vor)