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Mathe-Treff: Abituraufgabe LK Analysis
von Dr. Peter Heiß, Gymnasium Korschenbroich

Abituraufgabe für den Leistungskurs Mathematik.
Teilbereich: Analysis.

Pursuit- (Verfolgungskurven) nennt man eine Bahn, die ein (dummer) Verfolger durchläuft, der immer genau auf eine Beute zuhält, die auf der y-Achse nach oben läuft. Wenn die Geschwindigkeiten von Verfolger und Beute gleich sind, wird die Bahn durch eine Funktion mit dem Term
f(c,x) =(c>0) beschrieben.

  1. Geben Sie Df an. Zeigen Sie , dass jede Pursuitkurve ein Minimum, aber keinen Wendepunkt hat. Geben Sie einen Term für die Ortkurve der Minima an. Zeichnen Sie die Kurve von  f(exp(-1/2),x)  für 0<x<6 (LE=2 cm).
  2. Wenn sich im Fall c = edie Beute im Ursprung O(0|0) befindet, befindet sich der Verfolger im Tiefpunkt T(e½|0). Berechnen Sie die Länge der Strecke, die der Verfolger von T zum Punkt
    P(1|f(exp(-1/2),1)) zurücklegen muss. Berechnen Sie zudem den y-Achsenabschnitt der Tangente im Punkt P an die Pursuitkurve. Kommentieren Sie das Ergebnis. Welche x-Koordinate hat der Verfolger, wenn die Beute den Punkt Q(0|4) erreicht hat? (Numerische Lösung)
  3. Der Verfolger wird seine Beute auf der Pursuitkurve nie erreichen. Dabei wäre es bei einer rechtzeitigen Änderung der Verfolgungsstrategie möglich, ihr den Weg abzuschneiden. Wo liegt auf der Pursuitkurve (mit beliebigem c) der Punkt mit der kleinsten x-Koordinate, von dem aus der Verfolger auf einem Weg parallel zur x-Achse seine Beute gerade noch erreichen würde? Die Angabe der x-Koordinate reicht.
  4. Die Kurve von f(exp(-1/2),x) schließt mit der x-Achse zwischen a mit 0<a<e½ und ihrem Minimum bei T(e½|0) ein Flächenstück ein. Berechnen Sie den Inhalt und bestimmen Sie den Grenzwert für a -> 0. (ohne Derive)

Unterrichtliche Voraussetzungen - Erwartungshorizont (liegt nicht vor)