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Mathe-Treff: Abituraufgabe LK Analytische Geometrie

Abituraufgabe für den Leistungskurs Mathematik.
Teilbereich: Lineare Algebra und analytische Geometrie.

Durch die vier Punkte ist ein Vierflach gegeben.

  1. Zeigen Sie, daß die von A ausgehende Kanten 60°-Winkel miteinander bilden.
    Zeigen Sie, daß das Vierflach nicht regelmäßig ist.
    Ermitteln Sie den Rauminhalt des Vierflachs.
  2. Senkrecht zur Fläche des Dreiecks ABQ verläuft durch den Punkt eine Gerade g. Der Punkt E auf dieser Geraden bilde mit den Punkten A, B, Q ein Vierflach mit dem Volumen 22,5 Raumeinheiten.
    Welche Koordinaten hat der Punkt E?
    Wie viele Lösungen gibt es?
  3. Ausgehend von dem gegebenen Vierflach ABPQ sollen nun die Eckpunkte eines regelmäßigen Vierflachs ABCD ermittelt werden:
    Die Eckpunkte A und B bleiben dabei erhalten, der Punkt C liege auf der Geraden g(A,P) und der Punkt D auf der Geraden g (A,Q).
    Ermitteln Sie die Koordinaten von C und D.
    Begründen Sie, daß durch A, B, C und D tatsächlich ein regelmäßiges Vierflach festgelegt ist.
  4. Für die folgenden Aufgabenteile sei nun .
  5. Die gegenüberliegenden Kanten des regelmäßigen Vierflachs liegen ersichtlich (kein Beweis erforderlich) auf windschiefen Geraden.
    Zeigen Sie für ein Kantenpaar: Die Richtungsvektoren der windschiefen Geraden sind orthogonal.
    Ermitteln Sie den Abstand dieser Geraden.
  6. Die vier Eckpunkte des regelmäßigen Vierflachs liegen auf einer Kugel. Ermitteln Sie deren Gleichung.

Unterrichtliche Voraussetzungen - Erwartungshorizont