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Mathe-Treff: Abituraufgabe LK Lineare Algebra
von Martin Kern, Friedrich-Spee-Gymnasium Geldern

Abituraufgabe für den Leistungskurs Mathematik.
Teilbereich: Lineare Algebra und analytische Geometrie.

Der französische Nationalökonom Fourastié stellte 1949 eine Theorie zur wirtschaftlichen Entwicklung von Industrieländern auf. Danach sind in der vorindustriellen Gesellschaft die meisten Erwerbstätigen im primären Wirtschaftssektor I (Land- und Forstwirtschaft), in Folge der industriellen Revolution immer mehr Erwerbstätige im sekundären Sektor II (Industrie und produzierendes Gewerbe) und schließlich in der postindustriellen Gesellschaft die meisten Erwerbstätigen im tertiären Sektor III (Dienstleistungen) beschäftigt. Nach Fourastié bewirkt also wirtschaftliches Wachstum eine Verlagerung des Schwerpunkts der Wirtschaft vom primären über den sekundären zum tertiären Sektor.

Folgende Daten seien hierzu gegeben:

Anteil der Beschäftigten in den drei Wirtschaftssektoren an der Gesamtbeschäftigung in den USA (2000 = Schätzung)

Jahr

I Landwirtschaft

II Industrie

III Dienstleistungen

1970

5

36

59

1980

4

30

66

1990

3

27

70

2000

2

24

74

Zwei Modelle sollen nun die Entwicklung der Anteile der Beschäftigten an den drei Sektoren über 10 Jahre beschreiben:

Modell F1

     

nach

 
   

I

II

III

 

I

0,75

0,1

0,15

von

II

0

0,9

0,1

 

III

0

0

1

 

Modell F2:

     

nach

 
   

I

II

III

 

I

0,5

0,2

0,3

von

II

0,01

0,6

0,39

 

III

0,01

0,12

0,87

  1. Erstelle die entsprechenden Matrizen F1 und F2 und begründe, warum es sich in beiden Fällen um Übergangsmatrizen handelt.
  2. Berechne F12 und F22 (auf zwei Nachkommastellen runden).
  3. Sei V1980 die prozentuale Verteilung der Erwerbstätigen im Jahr 1980. Berechne jeweils V1990 und V2000 mit Hilfe der oben aufgestellten bzw. berechneten Matrizen (auf ganze Prozentsätze runden).
    Vergleiche diese errechneten Verteilungen mit den tatsächlichen Zahlen von 1990 und 2000 und nimm kurz Stellung, ob F1 und/oder F2 gute Modelle für die Entwicklung in den USA sind.
  4. Es gilt:

    1. Welche der beiden Modelle erscheint Dir nun realistischer? (kurzes Statement)
    2. Berechne und . Was fällt Dir auf? Begründe diesen Sachverhalt, indem Du folgenden Satz beweist:
      Ist eine Übergangsmatrix und eine Matrix mit gleichen Zeilen, so gilt: .
  1. Leite her:
    .
    Berechne (bei Abweichungen von der vorgegebenen Matrix verwende diese).
    Interpretiere dieses Matrizenprodukt im gegebenen Problemzusammenhang.

Unterrichtliche Voraussetzungen - Erwartungshorizont