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Mathe-Treff: Abituraufgabe LK Lineare Algebra
von Martin Kern, Friedrich-Spee-Gymnasium Geldern

Abituraufgabe für den Leistungskurs Mathematik.
Teilbereich: Lineare Algebra und analytische Geometrie.




  1. F1 und F2 sind Übergangsmatrizen, weil
    • alle Elemente
    • alle Zeilensummen = 1.





  2. Da bei beiden Matrizen die errechneten Verteilungen fast den tatsächlichen Verteilungen von 1990 und 2000 entsprechen, scheinen beide Modelle geeignet zu sein die Entwicklung zu beschreiben.
  3. Gegeben:
    1. Die resultierende Matrix bei Modell F1 würde bedeuten, dass alle Erwerbstätigen im
      Dienstleistungssektor beschäftigt wären und keiner mehr in der Landwirtschaft und in der Industrie, was sehr unwahrscheinlich ist. Daher scheint Modell F2 realistischer.



    2. Die beiden Matrizen sind stabil, d.h. sie verändern sich nicht mehr beim Multiplizieren mit der Ausgangsmatrix.
      Beweis des Satzes:


  4. Übliches Verfahren zur Berechnung einer inversen Matrix:





    Dies müsste die Verteilung von 1970 sein, was bis auf kleine Abweichungen auch tatsächlich der Fall ist.
    entspricht damit einer Übergangsmatrix (die Zeilensummen sind tatsächlich =1!), die die Entwicklung über 10 Jahre rückgängig macht.

Aufgabentext - Unterrichtliche Voraussetzungen