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Mathe-Treff: Abituraufgabe LK Lineare Algebra
von Dr. Peter Heiß, Gymnasium Korschenbroich

Abituraufgabe für den Leistungskurs Mathematik.
Teilbereich: Lineare Algebra und analytische Geometrie.

Die Matrix M = und der Vektor b definieren eine affine Abbildung A:
x' = M·x + b

a. Bestimmen Sie zunächst die Eigenwerte und Eigenvektoren von M und geben Sie Gleichungen für die Fixgeraden von A an. Der Antragspunkt beider Fixgeraden soll auf der x1-Achse liegen.

b. Aus der Lösung der Aufgabe a. ergibt sich, dass die Schnittpunkte der Fixgeraden mit der x1-Achse einen Abstand von 3,75 LE haben. Berechnen Sie den Fixpunkt von A und den Flächeninhalt des Dreiecks, das die Fixgeraden und die x1-Achse einschließen. Wie groß ist der Flächeninhalt des durch A erzeugten Bilddreiecks?

c. Das Matrixelement a12 = 1 von M soll jetzt durch c ersetzt werden. Welche Bedingung muss c erfüllen, damit M(c) Eigenvektoren besitzt? Geben Sie die Eigenwerte als Funktionen l1(c)und l2(c)von c an. Für welche Werte von c sind die Flächeninhalte von Bildern, die M(c) von Dreiecken erzeugt, doppelt so groß wie die der Urbilder? Bestimmen Sie für diesen Fall wenn möglich die Eigenwerte.

Unterrichtliche Voraussetzungen - Erwartungshorizont (liegt nicht vor)