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Mathe-Treff: Abituraufgabe LK Lineare Algebra
von Andrea Lenzen, 1. Städtische Gesamtschule Kaiserplatz Krefeld

Abituraufgabe für den Leistungskurs Mathematik.
Teilbereich: Lineare Algebra und analytische Geometrie.

1.a) Bibliothekar (2/9/2/12/9/15/20/8/5/11/1/18) = K

1.b) A*K= = C

1.c) Die Matrix B kann nicht mit der (2,6)-Matrix aus a) multipliziert werden, da B 3 Spalten hat. Falls man als Klartextmatrix für "Bibliothekar" eine (3,4)-Matrix verwendet,lässt sich die Kodierung mit B durchführen.

Bibliothekar (2/9/2/12/9/15/20/8/5/11/1/18)

2.a) Zur Entschlüsselung wird die zu A inverse Matrix A benötigt, denn:

A*K=C K=A *C

2.b) A = * =

A*C = K

3. Zu prüfen ist jeweils, ob die angegebene Matrix invertierbar ist. M ist als (3,2)-Matrix nicht inverierbar und deshalb nicht als Kodiermatrix geeignet. B ist ebenfalls nicht invertierbar, da B Rang 1 hat bzw. da det B = 0. 
Det E 0, daher ist E invertierbar. Nach Umformung von D mit dem Gauß`schen Eliminationsverfahren erkennt man 3 als Rang D, also ist D als Kodiermatrix geeignet.

4. Der Klartext "James Bond" entspricht der (2,5)-Matrix = K.

Zu bestimmen ist A = , so dass gilt: A*K = .

Es gibt mehrere Möglichkeiten, Gleichungssysteme aufzustellen,z.B.:

a*10+c*1 = 7 b*19 = -38

a*19 =19 b*10+d = -15

a =1, c = -3, b = -2, d = 5.

Die verwendete Kodiermatrix lautet .

Aufgabentext - Unterrichtliche Voraussetzungen