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Mathe-Treff: Abituraufgabe LK Lineare Algebra
von Martin Kern, Friedrich-Spee-Gymnasium Geldern

Abituraufgabe für den Leistungskurs Mathematik.
Teilbereich: Lineare Algebra und analytische Geometrie (2 Halbjahre).

Zwei luftgefüllte Kammern (1) und (2)

(1)

(2)

sind durch eine Wand getrennt, die Luftmoleküle in beiden Richtungen frei durchlässt. In Kammer (1) befinden sich am Anfang etwa 900 000 Moleküle eines Geruchsstoffs G, in Kammer (2) etwa 100 000.
Nach jeder Minute wird die Anzahl der Moleküle von G in den beiden Kammern bestimmt, so dass man folgendes Versuchsprotokoll erhält:

Anzahl der Moleküle nach

0 Minuten

1 Minute

2 Minuten

3 Minuten

Kammer (1)

900 000

780 000

756 000

751 000

Kammer (2)

100 000

220 000

244 000

249 000

  1. Bestimme eine geeignete stochastische (2x2)-Übergangsmatrix U, die bezüglich eines Moleküls von G die Wahrscheinlichkeiten für den Aufenthalt in den Kammern bzw. den Wechsel zwischen ihnen pro Minute beinhaltet.
    Kontrolliere Dein Ergebnis mit der Berechnung der Molekül-Verteilung nach 3 Minuten.
    Falls Du zu keinem Ergebnis kommst, rechne weiter mit !
  2. Leite mit der Lösung einer geeigneten Gleichung die stationäre Verteilung für die Aufenthalts-Wahrscheinlichkeiten eines Moleküls von G her.
    Wie viele Moleküle von G sind demnach nach langer Zeit in Kammer (1) bzw. (2) zu erwarten?
  3. Bestimme unter Verwendung der bekannten Zusammenhänge zwischen und der stationären Verteilung die Grenzmatrix .
    Bestätige Deine Vermutung mit der von uns hergeleiteten Grenzwertformel für stochastische (2x2)-Matrizen.
  4. Die Existenz einer stationären Verteilung lässt auf einen bestimmten Eigenwert der zugehörigen Matrix U schließen. Welcher Eigenwert ist das?
    Bestätige Deine Vermutung durch die Berechnung aller Eigenwerte von U.
  5. Bestimme die inverse Matrix von U.
    ist zwar keine stochastische Übergangsmatrix mehr (Begründung!), aber welche Eigenschaft einer Übergangsmatrix hat immer noch?
    Beweise diesen Zusammenhang allgemein für stochastische (2x2)-Matrizen, die eine inverse Matrix besitzen.

Unterrichtliche Voraussetzungen - Erwartungshorizont