brlogo
untitled
   
   
   
 

Mathe-Treff: Abituraufgabe LK Lineare Algebra
von Martin Kern, Friedrich-Spee-Gymnasium Geldern

Abituraufgabe für den Leistungskurs Mathematik.
Teilbereich: Lineare Algebra und analytische Geometrie (2 Halbjahre).

a) Für die gesuchte stochastische (2x2)-Übergangsmatrix U muss gelten:

Diese drei Bedingungen führen zu einem LGS, dessen Lösung ist, und das die gesuchte Übergangsmatrix liefert, d.h. in Kammer (1) verbleiben jeweils 80%, von Kammer (1) nach (2) wechseln 20%, in Kammer (2) bleiben jeweils 60% und von Kammer (2) nach (1) wechseln 40% der darin befindlichen Moleküle.

Zur Kontrolle kann nun mit U die Verteilung nach 3 Minuten berechnet werden:

also ungefähr die angegebene Verteilung.

b) Für die stationäre Verteilung muss gelten: , hier also:

.

Das zugehörige LGS hat die Lösung und liefert damit die stationäre Verteilung . Langfristig sind demnach in Kammer (1) und in Kammer (2) Moleküle von G zu erwarten.

c) Mit den im Unterricht besprochenen Zusammenhängen lässt sich nun sofort die Grenzmatrix bestimmen: .

Hergeleitet worden ist ferner im Unterricht:

Ist eine stochastische Matrix, so gilt:

. Setzt man nun für a und b die Belegungen von U ein, so ergibt sich dasselbe Ergebnis für die Grenzmatrix wie oben.

d) U müsste als Eigenwert die 1 haben.

Die Berechnung aller Eigenwerte von U erfolgt mit der im Unterricht hergeleiteten charakteristischen Gleichung, hier:

, die als Lösungen für die Eigenwerte 1 und 0,2 für U liefert.

e) Mit der im Unterricht hergeleiteten Formel gilt:

.

ist damit keine stochastische Matrix mehr, weil die Elemente nicht alle positiv sind. Da die Spaltensummen aber immer noch den Wert 1 haben, lässt sich vermuten: ist A eine stochastische Matrix, die invertierbar ist, dann sind auch die Spaltensummen von gleich 1. Beweis:

Sei eine invertierbare stochastische Matrix. Dann gilt:

mit den Spaltensummen:

Aufgabentext - Unterrichtliche Voraussetzungen