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Mathe-Treff: Abituraufgabe LK Lineare Algebra
von Martin Kern, Friedrich-Spee-Gymnasium Geldern

Unterrichtliche Voraussetzungen zur Abituraufgabe für den Leistungskurs Mathematik.
Teilbereich: Lineare Algebra und Analytische Geometrie (2 Halbjahre).

Zu dieser Aufgabe wurde ich inspiriert von einer Aufgabe im LS Lineare Algebra mit analytischer Geometrie. Leistungskurs. Klett, S. 230. Daten und Aufgabenstellung sind aber erheblich abgewandelt bzw. erweitert worden und den Schülern natürlich völlig unbekannt (es handelt sich auch nicht um das benutzte Lehrwerk), wobei der Begriff der stochastischen Übergangsmatrix und die notwendigen Kenntnisse der Matrizenrechnung in folgender Unterrichtssequenz der 13/I vermittelt wurden:

Zu den Aufgabenteilen:

a) Aufgrund von Text- und Tabellen-Informationen muss mit Hilfe eines LGS die richtige Übergangsmatrix errechnet werden. Dies stellt für die Schüler eine neue Anforderung dar, weil bisher die Übergangs-Wahrscheinlichkeiten zumindest teilweise vorgegeben waren. Die von mir gegebene Matrix U ermöglicht aber auch dann die Bearbeitung der folgenden Aufgabenteile, wenn man sie nicht selbst herleiten kann.

b) Begriff und Ermittlungsverfahren einer stationären Verteilung mit Hilfe einer Gleichung und Lösung mit LGS oder LGS-Matrix sind den Schülern bekannt.

c) Die Zusammenhänge sind den Schülern zwar bekannt, diese sind aber so komplex und die Aufgabenstellung so offen gehalten, dass hier der Anforderungsbereich 3 erfüllt ist. Die Formel für die Grenzmatrix wurde dabei für (2x2)-Matrizen hergeleitet und gibt hier den fleißigen Lernern die Möglichkeit ihre Kenntnisse anzuwenden.

d) Die Rolle des Eigenwertes 1 in diesem Zusammenhang ist ebenso bekannt wie die Berechnung vorhandener Eigenwerte mit Hilfe der charakteristischen Gleichung.

e) Der Begriff der inversen Matrix bzgl. der Matrizenmultiplikation ist den Schülern ebenso bekannt wie Verfahren zu ihrer Berechnung, insbesondere die Formel für (2x2)-Matrizen mit Hilfe ihrer Determinante. Besondere Anforderungen stellen hier aber Ansatz und Durchführung des geforderten Beweises dar, wobei allerdings ähnliche Beweise (etwa: stochastische Matrix x stochastische Matrix = stochastische Matrix) im Unterricht durchgeführt worden sind.

Die Herleitung der Übergangsmatrix in Aufgabenteil a) und die offene Fragestellung mit der Beweisführung in e) machten den Schülerinnen und Schülern die meisten Schwierigkeiten. Im Allgemeinen konnten aber der inhaltliche Kontext der Aufgabenstellung zufriedenstellend erfasst und die übrigen Aufgabenteile mit den Kenntnissen der Übergangsmatrizenrechnung gelöst werden, insbesondere was die hergeleiteten Formeln im gelernten Zusammenhang anging.

Aufgabenstellung - Erwartungshorizont