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Mathe-Treff: Lösung der Abituraufgabe
LK Analytische Geometrie

Lösung der Abituraufgabe für den Leistungskurs Mathematik.
Teilbereich: Lineare Algebra und analytische Geometrie.


  1. Es sei:

    Da z. B. ist, ist das Vielfach nicht regelmäßig.


    Þ Volumen = 7,5 Raumeinheiten.
  2. Bestimmung eines Vektors orthogonal zum Dreieck ABQ.

    ist Richtungsvektor der gesuchten Geraden g. Da der Punkt R auf liegen soll, folgt:


    Für den Punkt E auf der Geraden g gilt:

    Für das Volumen des Vierflachs ABQE folgt:

    Nebenrechnung:

    Es muß nun die Gleichung gelöst werden.
    Fallunterscheidung:
    1. Fall:
    2. Fall:

    Þ Es gibt zwei Lösungen für E: E1 (1/1/6) und E2
  3. A, B sowie werden beibehalten. Aus folgt wegen der geforderten Regelmäßigkeit:
    Ansatz: mit wegen der Beibehaltung der Winkel.

    Durch A, B, C, D ist ein regelmäßiges Vierflach festgelegt, da gleich lang sind und jeweils 60°-Winkel miteinander bilden.

  4. Planskizze:

  5. Es werden die Geraden g(A,B) mit dem Richtungsvektor und g(C,D) mit dem Richtungsvektor untersucht.
    Für den Abstand e der windschiefen Geraden gilt: .
    Mit und folgt: .
    Der Abstand der windschiefen Geraden g(A,B) und g(C,D) beträgt 3 LE.
    Aus Symmetriegründen folgt das Gleiche für alle weiteren windschiefen Geraden am regelmäßigem Vierflach ABCD.
  6. Aus Symmetriegründen ist der Mittelpunkt M der Kugel auch der Schwerpunkt des regelmäßigen Vierflachs.

    M(3,5|0,5|5,5)

    Für den Radius r folgt:

    Kugelgleichung:

Alternative Lösung zur Bestimmung von M:

  • Ermittlung der Geraden gD senkrecht zur Ebene EABC durch D ergibt:
  • Ermittlung der Geraden gC senkrecht zur Ebene EABC durch C heißt:

    Schnittpunktbestimmung:
    ergibt

Aufgabentext - Unterrichtliche Voraussetzungen