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Mathe-Treff: Abituraufgabe LK Analytische Geometrie

Unterrichtliche Voraussetzungen zur
Abituraufgabe für den Leistungskurs Mathematik.
Teilbereich: Lineare Algebra und Analytische Geometrie.

Der Betrag eines Vektors, Winkel zwischen Vektoren sowie Vektor- und Spatprodukt sind an vielen Beispielen eingeübt worden.

Das Determinantenkalkül diente außer zur Berechnung des Spatprodukts auch zur Prüfung linearer Unabhängigkeit von Vektoren in der Linearen Algebra und wird von den Schülern als Werkzeug sicher gehandhabt.

Bekannt ist ebenfalls das Volumen eines Vierflachs; es war in einer Klausuraufgabe zu berechnen.

Die Anforderungen der Teilaufgabe a) liegen im Bereich 1, weil die Schüler mit den erforderlichen Techniken bestens vertraut sind.

Aufgabe b) enthält eine Umkehrung der Volumenaufgabe aus a) und ist in dieser Form neu für die Schüler.

Da in Anlehnung an den Lösungsweg in a) hier ebenfalls mit der Determinante gearbeitet werden kann, ist der Schwierigkeitsgrad dieser Aufgabe nur ein mittlerer (Anforderungsbereich 2), zumal die Existenz zweier Punkte E1 und E2 mit der gewünschten Eigenschaft leicht zu sehen ist.

Um die nötige Fallunterscheidung allerdings zielsicher durchführen zu können, müssen sich die Schüler über die Bedeutung im klaren sein, die das Vorzeichen des Spatprodukts hat. Die Untersuchung dieses Vorzeichens in Abhängigkeit von der Frage, ob die aufspannenden Vektoren ein Rechts- oder Linkssystem bilden, liegt längere Zeit zurück.

In Teilaufgabe c) ist die räumliche Vorstellung stärker gefragt. Die Bedingung für die Regularität des Vierflachs und , bei vorgegebener Kantenlänge , muß erkannt und für die Berechnung der beiden gesuchten Parameter l 1 und l 2 verwendet werden. Mit diesen Parametern liefern die Gleichungen der Geraden g(A,P) und g(A,Q) die Ortsvektoren der gesuchten Punkte C und D.

Die abschließend verlangte Begründung für die Regelmäßigkeit des Vierflachs ABCD setzt die Einsicht voraus, daß die oben verwendete Bedingung nur notwendig aber nicht hinreichend ist. Diese Feinheit wird erfahrungsgemäß manchem Schüler entgehen.

Der gehobene Anspruch an das räumliche Vorstellungsvermögen und die größere Komplexität der Aufgabe rechtfertigen ihre Einordnung in den Anforderungsbereich 2.

Die Teilaufgabe d) verlangt die Anwendung oft geübter Verfahren. Die Abstandsformel für windschiefe Geraden ist in der Form bekannt.

Die Anforderungen dieser Teilaufgabe überschreitet nicht den Bereich 1.

Teilaufgabe e): Der Schwerpunkt des Vierflachs ist einmal im Unterricht ermittelt worden. Die Berechnung von Schwerpunkt und Umkreismittelpunkt eines Dreiecks und der Nachweis ihrer Übereinstimmung bei einem gleichseitigen Dreieck war Klausuraufgabe.

Erkennen und Ausnutzen der Symmetrie im vorliegenden dreidimensionalen Fall hebt die Anforderung in den Bereich 2.

Der Anforderungsbereich 3 wird in dieser Aufgabe nicht erreicht; er ist dafür in den beiden anderen Aufgaben desselben Vorschlags stärker vertreten.

Aufgabenstellung - Erwartungshorizont