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Mathe-Treff: Abituraufgabe LK Analytische Geometrie
von Karin Hensel, Theodor-Fliedner-Gymnasium Düsseldorf

Abituraufgabe für den Leistungskurs Mathematik.
Teilbereich: Lineare Algebra und analytische Geometrie.
Die Aufgabenstellung ist eine Bearbeitung der LK 97/II.2-Aufgabe aus Baden-Württemberg.
Die Veränderungen gegenüber der Abituraufgabensammlung BW hätten noch etwas umfangreicher sein können.

Das Dach eines Turmes über einer quadratischen Grundfläche hat die untenstehende Form ( 1 LE = 1 m).

Gegeben sind weiterhin die Punkte A(4/ 0/ 0), B(4/ 4/ 0), C(0/ 4/ 0), D(0/ 0/ 0), E(2/ 0/ 6), F(4/ 2 /6), G(2/ 4/6), H(0/ 2/ 6) und S, siehe Zeichnung. Nicht sichtbare Linien sind grau gezeichnet.

  1. Die Punkte A, D und S legen die Ebene E1 fest, die Dachfläche ABGE die Ebene E2. Berechnen Sie den Winkel, den die beiden Ebenen einschliessen. Bestimmen Sie außerdem das Schnittgebilde mit möglichst geringem Rechenaufwand. Tragen sie sowohl den Winkel als auch das Schnittgebilde in die vorgegebene Zeichnung ein.
  2. In der Mitte der Strecke vom Punkt D zum Punkt C ist eine 7 m lange Stange verankert. Sie verläuft senkrecht zur Ebene E2 aus a) und durchstösst die Giebelfläche ABF. Die Stange kann nur dann als Fahnenstange verwendet werden, wenn zur Aufhängung der Fahne mindestens 2,75 m ins Freie ragen.
    Überprüfen Sie, ob die Stange als Fahnenstange dienen kann.
    Berechnen Sie auch den Abstand der Strecke DC von der Ebene E2 , um die Länge eines einzubauenden Stützbalkens zu bestimmen.
  3. Die Giebelfläche ABF und die Dachflächen ASE und BGS sollen vollständig mit Solarzellen bedeckt werden, die eine elektrische Leistung von 250 W pro Quadratmeter liefern.
    Geben Sie zwei verschiedene Methoden zur Bestimmung des Flächeninhalts eines beliebigen Dreiecks an.
    Verwenden Sie für die Berechnung der Flächeninhalte der Giebel- und Dachflächen beide Methoden.
    Bestimmen Sie die Gesamtleistung der Solarzellen.
  4. Unter dem Dach soll ein Gewölbe in Form einer Kugelkappe (Teil einer Kugeloberfläche) der Symmetrie des Turmdachs entsprechend eingebaut werden. Die Dachkanten DS, AS, BS und CS berühren die Kugelkappe in der xy-Ebene.
    Bestimmen Sie den Radius r und den Mittelpunkt M der zugehörigen Kugel K.
  5. Die Giebelfläche ABF schneidet die Kugelkappe in einem Kreisbogen. Bestimmen Sie den Mittelpunkt M* des zugehörigen Kreises und seinen Radius r*.
    Wie hoch liegt der höchste Punkt des Kreisbogens über der Grundfläche des Daches?
    (Teilergebnis aus d):

Unterrichtliche Voraussetzungen (liegen nicht vor) - Erwartungshorizont