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Mathe-Treff: Lösung der Abituraufgabe LK Analytische Geometrie
von Karin Hensel, Theodor-Fliedner-Gymnasium Düsseldorf

Abituraufgabe für den Leistungskurs Mathematik.
Teilbereich: Lineare Algebra und analytische Geometrie.

  1. E1: S ( 2/2/6)
    Normalenvektor: ; z. B.: E1=
    E1:
    E2:
    Normalenvektor: z. B.: E2=
    E2:
    cos (a ) Winkel zwischen E1 und E2
    Schnittgerade: AÎ E1 Ç AÎ E2 lt. Aufgabenstellung; SÎ E1 lt. Aufgabenstellung; SÎ E2 , da S Mittelpunkt der Strecke EG
    Þ A und S liegen in beiden Ebenen
    Þ A und S liegen auf der Schnittgeraden, d. h. die Schnittgerade ist die Gerade durch die beiden Punkte
    S E1,E2:
  2. Mittelpunkt der Strecke OC: MOC ( 0/ 2/ 0 )
    Gerade h (durch MOC senkrecht zur Ebene E2):
    Giebelfläche ABBF ist Teil der Ebene E3 (Ebene parallel zur yz-Ebene durch A (4/ 0/ 0), d. h. im Abstand 4): x=4
    Schnittpunktberechnung Gerade h und Ebene E3:
    h in E3:
    eingesetzt in h:
    Länge der Fahnenstange innerhalb des Turmes:

    Länge der Fahnenstange außerhalb des Turmes: 7m-4,22m=2,78m
    Da 2,78m (>2,75m) ins Freie ragen, kann die Stange als Fahnenstange verwendet werden.
    Die Strecke OC ist parallel zur Ebene E2; ihr Abstand von der Ebene E2 ist gleich dem Abstand des Nullpunktes zur Ebene E2; dieser Abstand ist in der Hesseschen Normalenform abzulesen.
    E2: ,
    da und und Normaleneinheintsvektor:
    Die rechte Seite der Gleichung (E2:)gibt den Abstand an:
    Der Stützbalken müßte eine Länge von ca. 3,79m haben.
  3. (1) 1. Methode: , wobei g eine beliebige Grundseite und hg die zugehörige Höhe bedeuten.
    2. Methode: , wobei A, B, C die Eckpunkte des Dreiecks und AB, AC somit die das Dreieck aufspannenden Vektoren sind. [Vektorpfeile fehlen über AB, AC]
    Dreieck ABF, Berechnung nach Formel:
    ; die Grundseite hat die Länge 4, denn die Punkte A und B sind 4 Einheiten in Richtung der y-Achse voneinander entfernt; die Höhe beträgt 6, da das Dreieck ABF senkrecht zur xy-Ebene ist und der Punkt F die z-Koordinate 6 hat.

    Dreiecke ASE und BGS: Berechnung nach Vektorprodukt:
    Es gilt: AASE = ABGS aus Symmetriegründen




    Gesamtfläche: AABF + AASE + ABGS = 12m2 + 12,65m2=24,65m2



    Die Solarzellen liefern insgesamt 6162,5 W.
  4. Der Mittelpunkt M der Kugel K muß aus Symmetriegründen auf einer Geraden durch den Punkt (2/2/0) senkrecht zur xy-Ebene liegen; es gilt also: m1=2 und m2=2 und m3<0
    Die Punkte A, B, C und der Nullpunkt sind Berührpunkte; da der Radius der Kugel jeweils senkrecht zur Tangente bzw. Tangentialebene verläuft, muß gelten:


    Der Radius entspricht dem Abstand des Mittelpunktes M zum Nullpunkt, d. h. der Länge des Ortsvektors

  5. Die Giebelfläche ABF ist Teil der Ebene E3; also ist auch der Kreisbogen Teil des Schnittkreises der Kugel K mit der Ebene E3.
    Schnittkreis zwischen Kugel K und Ebene E3:
    Hilfsgerade l: Gerade durch Mittelpunkt der Kugel senkrecht zur Ebene E3
    Schnittpunkt zwischen l und E3: l in E3:
    eingesetzt in l: Mittelpunkt des Schnittkreises
    zugehöriger Radius:
    mit:

    maximale Höhe über der Grundfläche:
    Der Kreisbogen hat seine maximale Höhe über der Grundfläche, wenn der Radius r* senkrecht zur Grundfläche verläuft; damit verläuft er auch senkrecht zur Strecke AB; da das Dreieck AM*B gleichschenklig ist, schneidet der Radius r* die Strecke AB in ihrem Mittelpunkt; mit Pythagoras ergibt sich:

    Die maximale Höhe des Kreisbogens über der Grundfläche beträgt ca. 1,07m.

Aufgabentext - Unterrichtliche Voraussetzungen (liegen nicht vor)