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Mathe-Treff: Abituraufgabe LK Lineare Algebra
von Norbert Hülsbusch, Steinbart-Gymnasium Duisburg

Abituraufgabe für den Leistungskurs Mathematik.
Teilbereich: Lineare Algebra und analytische Geometrie.

V sei die Menge der (3x3)-Zauberquadrate mit magischer Summe 0, also die Menge aller dieser (3x3)-Zauberquadrate, bei denen sich in jeder Zeile, jeder Spalte und in beiden Diagonalen jeweils die Summe 0 ergibt.
In der Menge V sei die Addition komponentenweise definiert. Auch die Multiplikation mit einem reellen Skalar sei komponentenweise erklärt. Da sich durch beide Operationen die Summe 0 nicht ändert, ist V in natürlicher Weise ein Vektorraum über den reellen Zahlen. Ein Nachweis hierfür ist nicht zu führen, er ist trivial.

  1. Zeigen Sie, dass jedes Zauberquadrat aus V folgende Gestalt hat :

    a

    b

    -(a+b)

    -(2a + b)

    0

    2a + b

    a + b

    -b

    -a

  2. Zeigen Sie, dass die beiden Quadrate Q1 und Q2 eine Basis von V bilden.

    1

    0

    -1

    -2

    0

    2

    1

    0

    -1

    0

    1

    -1

    -1

    0

    1

    1

    -1

    0

  3. Nach einer chinesischen Sage erblickte der Kaiser Yü vor über 4000 Jahren am Ufer des Flusses Lo auf dem Panzer einer Wasserschildkröte das folgende Zauberquadrat:

    8

    1

    6

    3

    5

    7

    4

    9

    2

    mit der magischen Summe 15. Es ist das älteste überlieferte Zauberquadrat überhaupt. Subtrahiert man in jeder Komponente die Zahl 5, so erhält man ein in V liegendes Quadrat L. Stellen Sie L durch die in Teil a) vorgegebene Basis dar.

  4. Jedes Quadrat aus V kann aufgefaßt werden als eine (3x3)-Determinante. Leiten Sie für diese Determinante einen möglichst einfachen Term her.

Unterrichtliche Voraussetzungen (liegen nicht vor) - Erwartungshorizont