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Mathe-Treff: Lösung der Abituraufgabe LK Lineare Algebra
von Norbert Hülsbusch, Steinbart-Gymnasium Duisburg

Abituraufgabe für den Leistungskurs Mathematik.
Teilbereich: Lineare Algebra und analytische Geometrie.

  1. Wir haben folgende Beziehungen:
    1) a+b+c = 0; 2) d+e+f = 0; 3) g+h+i = 0; 4) a+d+g = 0; 5) b+e+h = 0; 6) c+f+i = 0; 7) a+e+i = 0; 8) c+e+g = 0
    Aus 2,5,7,8 ergibt sich durch Addition: d+b+a+c+4e+f+h+i+g = 0
    Wegen 6) folgt: d+b+a+4e+h+g = 0
    Wegen 4) folgt: b+4e+h = 0
    Wegen 5) folgt: 3e = 0, also e = 0. Der Rest ist dann sofort klar.
  2. Zunächst die lineare Unabhängigkeit von Q1 und Q2:
    Ist r*Q1 + s*Q2 der Nullvektor von V, so ergibt sich aus den beiden ersten Positionen der ersten Zeile:
    r*1 + s*0 = 0 und r*0 + s*1 = 0, also r = s = 0.
    Offenbar liefert a*Q1 + b*Q2 die in a. angegebene allgemeine Gestalt eines Zauberquadrats aus V.
    Damit ist gezeigt, dass Q1 und Q2 ein Erzeugendensystem von V bilden.
    Q1 und Q2 bilden also als linear unabhängiges Erzeugendensystem eine Basis von V.
  3. L ist das folgende Zauberquadrat aus V:
    3 -4 1
    -2 0 2
    -1 4 -3

    Aus den beiden ersten Positionen der ersten Zeile ergibt sich unmittelbar die Beziehung: L = 3*Q1 - 4*Q2

  4. Da es sich um ein Zauberquadrat der magischen Summe 0 handelt, ist die Summe der Spaltenvektoren der Nullvektor. Die drei Spaltenvektoren sind daher linear abhängig. Also hat die aus ihnen gebildete Determinante den Wert 0.

Aufgabentext - Unterrichtliche Voraussetzungen (liegen nicht vor)