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Mathe-Treff: Abituraufgabe LK Lineare Algebra
von Bruno Kremer, Quirinus-Gymnasium Neuss
nach einer Idee von Stud.Ref. B. Decker

Abituraufgabe für den Leistungskurs Mathematik.
Teilbereich: Lineare Algebra und analytische Geometrie.

Bei der Entwicklung einer Maikäferpopulation in einem "Maikäferjahr" (MKJ/1. Mai -30.April) unterscheidet man drei Stadien: das der Eier (I), das der Larven (II), das der Käfer (III).

Aus Feldversuchen wurden folgende (fiktive) Daten gewonnen:

(D1) Aus 100 Eiern erhält man durchschnittlich 25 einjährige Larven im folgenden MKJ.

(D2) Aus 100 (einjährigen) Larven entwickeln sich durchschnittlich 50 Käfer.

(D3) Pro Käfer erhält man durchschnittlich 8 Eier im folgenden Jahr.

Ein Landwirt führt im 1. Monat eines MKJ (Mai) eine Zählung durch und findet pro m2 eines Feldes folgende durchschnittliche "Anfangspopulation" vor: Eier: 40 (E), Larven: 20 (L), Käfer: 12 (K)

    1. Ermitteln Sie auf der Grundlage der Daten D1, D2, D3 ausgehend von dem "Startvektor" v0 = (40; 20; 12)t entsprechende Zahlentripel für die nächsten 7 Jahre.
    2. Berechnen Sie aus den ermittelten Vektoren die "Übergangsmatrix" A, die diesen Prozeß beschreibt!

    3. Bilden Sie nacheinander die Potenzen von A = A1, A2, A3, A4 und deuten Sie die Ergebnisse im Zusammenhang mit den Resultaten der Vektoren von a).
    4. Begründen Sie mittels der Eigenschaft von A: Für jeden Startvektor ist der Prozeß der Entwicklung der Maikäferpopulation bei Vorgabe der Daten D1, D2, D3 periodisch.

In einem anderen Feldversuch erhielt man folgende Daten D*1, D*2, D*3:

(D*1) In D1 wird 25 durch 35 ersetzt

(D*2) wie D2

(D*3) 8 wird durch 9 ersetzt.

    1. Geben Sie dazu die Übergangsmatrix B an und berechnen Sie die Potenzen B2, B3, B4, B6, B9.
    2. Geben Sie ein Verfahren an, wie B3n und B3n+1 berechnet werden können, wenn B und B3 bekannt sind und berechnen Sie daraus unter Voraussetzung der Daten D* die Anzahl der Maikäfer pro m2 im 16. Jahr
      (Startvektor v0 wie in a).
    3. Ermitteln Sie die Eigenwerte von B, B2 und B3 und vergleichen Sie diese mit der Determinante dieser Matrizen. Geben Sie sodann eine auf definierte Funktion f an, die für jedes 3. Jahr einen Näherungswert für die Anzahl der Maikäfer angibt.

Im Folgenden werden 3 Klassen von Matrizen folgender Typen betrachtet:

Hierbei sind a, b, c, d, e, f, g, h, k positive reelle Zahlen.

    1. Beweisen Sie, daß jede Matrix der Typen T1 oder T2 genau einen positiven Eigenwert hat.
      Geben Sie einen Term zur Berechnung dieses Eigenwertes an.
    2. Weisen Sie nach, daß die Menge aller Matrizen, die einer der drei Klassen angehören, eine Gruppe bildet (bzgl. der Matrizenmultiplikation) und daß jede Matrix A zusammen mit der Inversen A-1 durch Potenzieren eine Untergruppe erzeugt.

Unterrichtliche Voraussetzungen - Erwartungshorizont (beides zur Zeit nicht verfügbar)