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Mathe-Treff: Abituraufgabe LK Lineare Algebra/Geometrie

Abituraufgabe für den Leistungskurs Mathematik.
Teilbereich: Lineare Algebra/Geometrie

Ungekürzte Fassung nach den alten Zeitrichtlinien (Dauer: 5 Zeitstunden).

Geänderte oder gekürzte Aufgabenteile sind in kursiv gesetzt.

Gegeben ist die Ebenenschar Ek: kx + y + 2z - 5 = 0 , k Î IR.

  1. Stellen Sie für k ¹ 0 diese Ebenen in Parameterform dar!
  2. Ermitteln Sie für k = 0,5 ; 1 ; 2 jeweils die Schnittpunkte der Ebene mit den Koordinatenachsen und zeichnen Sie ein Schrägbild der drei Ebenen!
  3. Bestimmen Sie den Abstand der Ebenen Ek vom Nullpunkt in Abhängigkeit von k. Was ergibt sich beim Grenzübergang k ® ¥ und welche Ebene liegt dann vor?
  4. entfällt.
  5. Definition: Gegeben seien die Ebenen e1 und e2

    wobei nicht kollinear zu . Die Menge der Ebenen, die durch die Schnittgeradevon e1 und e2 gehen, heißen Ebenenbüschel mit den Trägerebenen e1 und e2.
    Zeigen Sie, daß die oben definierte Schar Ek ein Ebenenbüschel ist!
  6. Für Ebenenbüschel gilt der folgende Satz:
    Jede Ebene e eines Ebenenbüschels läßt sich als Linearkombination der beiden Trägerebenen darstellen, also in der Form:

    wobei r,s Î IR und nicht beide gleich Null sind.
    1. Überprüfen Sie die Aussage des Satzes am Beispiel der 3 Ebenen aus b)!
    2. Geben Sie eine Methode an, um r und s im allgemeinen Fall zu berechnen!
    3. entfällt.

Ungekürzte Fassung