brlogo
untitled
   
   
   
 

Mathe-Treff: Abituraufgabe LK Lineare Algebra
von Hans-Jürgen Elschenbroich, Marie-Curie-Gymnasium Neuss

Abituraufgabe für den Leistungskurs Mathematik.
Teilbereich: Lineare Algebra und analytische Geometrie.

V sei der Vektorraum mit der Basis B = {sin (x); cos (x)} und d sei eine Abbildung
d ®  V mit d(f) = f'.

  1. Zeigen Sie, dass d eine lineare Abbildung ist.
  2. Zeigen Sie, dass d bezüglich der angegebenen Basis B die folgende Matrixdarstellung hat:

    A = .

  3. Zeigen Sie, dass A keine reellen Eigenwerte hat.
    Untersuchen Sie, ob A orthogonal ist.
  4. Berechnen Sie die Potenzen A2, A3, A4.
    A kann man auch als Matrix einer Abbildung R2 ® R2 deuten. Welche Abbildungen R2 ®  R2 beschreiben dann diese Matrizen?.
  5. Zeigen Sie, dass die Matrizen A, A2, A3, A4 bzgl. der Matrizenmultiplikation eine Gruppe bilden. Die Gültigkeit des Assoziativgesetzes kann dabei als bekannt vorausgesetzt werden und braucht nicht mehr bewiesen zu werden.
  6. Bestimmen Sie die inverse Matrix A-1.
    Was entspricht dieser Abbildung in der Analysis?
    Durch ist auf V ein Skalarprodukt definiert.

  7. Untersuchen Sie, ob die Basis B bzgl. dieses Skalarprodukts eine Orthonormalbasis ist.
    Die erforderlichen Integrationen sollen rechnerisch durchgeführt werden.

Unterrichtliche Voraussetzungen (liegt uns nicht vor) - Erwartungshorizont