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Mathe-Treff: Lösung der Abituraufgabe LK Lineare Algebra
von Hans-Jürgen Elschenbroich, Marie-Curie-Gymnasium Neuss

Abituraufgabe für den Leistungskurs Mathematik.
Teilbereich: Lineare Algebra und analytische Geometrie.

  1. Die Linearität folgt aus der Faktorregel und der Summenregel der Differentialrechnung:
    d(a× f) = [a× f(x)] = a× f (x) = a× d(f)
    d(f+g) =[f(x) + g(x)] = f (x) + g (x) = d(f) + d(g)
  2. sin (x) = cos(x) = 0× sin(x) + 1× cos(x)
    cos (x) = -sin(x) = -1× sin(x) + 0× cos(x)
    Die Spaltenvektoren der Matrix A sind also .
  3. Untersuchung des charakteristischen Polynoms:
    det (A - l × E) = = l 2 + 1 <> 0.
    Also existieren keine EW.
    (Geometrische Deutung: Da wie unten gezeigt wird, A eine Drehmatrix ist, ist auch anschaulich klar, dass kein EW vorliegen kann.)

    Untersuchung auf AT = A-1:
    .
    .

    Desweiteren ist det (A) = 1.
    Also ist A orthogonal.


  4. .
    .
    .
    A ist Matrix einer Drehung um den Ursprung um 90°.

  5. Gruppeneigenschaften:
    * Verknüpfungstabelle:
      A A2 A3 A4
    A A2 A3 A4 A
    A2 A3 A4 A A2
    A3 A4 A A2 A3
    A4 A A2 A3 A4

    * Assoziativgesetz: brauchte nicht nachgewiesen werden.
    * neutrales Element existiert: A4.
    * inverses Element existiert: A3.

  6. Aus c) ist schon bekannt:
    . (Ansonsten Berechnung mit dem üblichen Algorithmus.)
    Dieser Matrix entspricht in der Analysis das Bilden der Stammfunktion.

  7. . Also sind sin(x) und cos(x) orthogonal.
    .
    .

    Also ist {sin(x); cos(x)} keine Orthonormalbasis, könnte aber einfach durch Normieren dazu gemacht werden.
    (Die erforderlichen Integrationen mussten von den Schülern durchgeführt werden.)

Aufgabentext - Unterrichtliche Voraussetzungen (liegen nicht vor)