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Mathe-Treff: Abituraufgabe LK Lineare Algebra
von Heiner Platzbecker, Gymnasium Korschenbroich

Abituraufgabe für den Leistungskurs Mathematik.
Teilbereich: Lineare Algebra und analytische Geometrie.

Generalhinweis: Du darfst bei der Lösung aller Aufgaben mit Derive rechnen, Du mußt aber alle Schritte klassisch begründen ( wie immer! ) !

Das Dodekaederproblem

(vgl. Photo)

Die Skizze zeigt ein Dodekaeder, das als "Koordinatenstützkörper" einen Würfel mit der Kantenlänge 2 hat. Jede Würfelkante ist Diagonale in einem regelmäßigen Fünfeck.

Reale Modelle stehen auf dem Lehrerpult.

  1. Zeige: in einem regelmäßigen Fünfeck mit der Diagonalenlänge 2LE beträgt die Seitenlänge s = LE !
  2. Beweise anhand der Modelle den "Goldenen Dodekaedersatz":
    Das Dodekaeder ist ein Würfel mit 6 aufgesetzten Walmdächern. Dabei hat jedesWalmdach die "goldene" Firstlänge s = und die "halbgoldene" Dachhöhe H = s/2.
    ( Tip : Zeige: )
  3. Wie lauten die Koordinaten der Punkte F,K,L,G und M? Berechne den Winkel zwischen FK und FM!
  4. Wie würdest Du prinzipiell mittels Derive den Realpunkt M als Bildschirmpunkt zeichnen?
    Wie erhält man die dazu notwendige Abbildungsmatrix, wenn dasDodekaeder parallel auf die yz-Ebene projiziert wird?
  5. Beschreibe 3 verschiedene Methoden zur Berechnung des Dodekaedervolumens! Gib die einzelnen Rechenschritte und Derivebefehle für ein konkretes Verfahren an!

Unterrichtliche Voraussetzungen - Erwartungshorizont