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Mathe-Treff: Abituraufgabe LK Lineare Algebra
von Heiner Platzbecker, Gymnasium Korschenbroich

Abituraufgabe für den Leistungskurs Mathematik.
Teilbereich: Lineare Algebra und analytische Geometrie.

Die Teile c) und d) sind reproduktiv. Teil a) erledigt sich, wenn man passende, ähnliche Dreiecke bzw. die passende "X-Figur" des Strahlensatzes im Fünfeck identifiziert. Nach meiner Erfahrung ist es didaktisch sinnvoll und legitim, den "Goldenen Dodekaedersatz" anhand eines Realmodells und in Form eines Ergebnissatzes abzufragen. Eine offene Fragestellung erscheint mir an dieser Stelle als zu schwierig. Dies testet man sehr nachhaltig , indem man z.B. einen interessierten Mathematiker, den man unter Zeitdruck setzt, bittet ,diese Aufgabe als offene Aufgabe ("Hallo Peter: Kannst Du mir mal eben berechnen, welche "Höhe" ein Dodekaeder hat?" zu lösen.) Zweimalige Anwendung des Pythagorassatzes und algebraische Umformungen liefern dann das erwünschte Resultat.

ad e) 1. Methode: VDode := 1/3 rInkugel ADode . Diese Formel gilt für alle Platonischen Körper.
Die Oberfläche ADode des Dodekaeders berechnet man trigonometrisch, den Inkugelradius rInkugel mit Hilfe der Hesse Normalenform.
Variante: rInkugel =abs( vector ( Flächenschwerpunkt eines Fünfecks )).

2.Methode: Zerlege das Dodekaeder in 36 Dreieckspyramiden ( pro Fünfeck 3 Dreiecksgrundflächen) und berechne das Volumen dieser Teilpyramiden via Spatprodukt und Derive!

3.Methode: VDode = VWürfel + 6 VWalmdach . Ferner gilt : VWalmdach = VPrisma + VViereckspyramide.

Mit allen drei Verfahren ergibt sich konkret: VDode = ( ) VE. Dieses Ergebnis erhält man
auch , wenn man in die Literaturformel VDode = den konkreten Wert s= einsetzt.

Aufgabentext - Unterrichtliche Voraussetzungen