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Mathe-Treff: Abituraufgabe LK Lineare Algebra
von Michael Spielmann, August-Dicke-Schule Solingen

Abituraufgabe für den Leistungskurs Mathematik.
Teilbereich: Lineare Algebra und analytische Geometrie.

  1. Man legt den Ursprung des Koordinatensystems in den Scheitel der Parabel.
    Die Gleichung y = 1/(2p) × x 2 beschreibt eine oben offene Parabel.
    Bei x=40 muß y = 8 sein.
    8 = 1/(2p) × 1600
    2p = 200
    p = 100
    Die Gleichung lautet y = 1/200 × x 2 .
    Die oben angegebene Form hat die Brennpunktskoordinaten F(0 / 0,5p), der Brennpunkt ist also 50 cm von der Mitte entfernt.
  2. Der Radius entspricht dem Krümmungsradius des Schnittes durch das Paraboloid, also dem Krümmungsradius der Parabel.
    y= x2 / 200
    y'= 2x / 200 = x / 100
    y"= 1 / 100
    r = ( 1+(y')2)3/2/ y"
    r = 100
    Die Kugel muß einen Radius von 100 cm besitzen.
  3. Die Entfernung des Satelliten zur Sat-Antenne ist vergleichsweise groß. Man kann sich auch den Sender als großflächig mit ausgehenden Parallelstrahlen vorstellen. Die am Satelliten erzeugten Strahlen treffen auf der Erde fast parallel auf. Sie werden also von der Parabelform optimal gebündelt.
    Andererseits kann man den Satelliten als punktförmige Quelle auffassen, die den zweiten Brennpunkt einer Ellipse darstellt. In diesem Fall bündelt die Ellipsenform optimal.
    Die Form der Empfangsantenne ist daher abhängig zu machen von der Größe der Sendequelle. Ist diese großflächig, sollte die Antenne parabelförmig sein, ist sie punktförmig, sollte die Antenne elliptisch gekrümmt sein.
  4. Wir betrachten jetzt eine rechts offene Parabel.
    Sie hat ihren Brennpunkt in F. Für jeden Punkt T1 der Parabel gilt, dass seine Entfernung zu F gleich dem Abstand zur Leitlinie ist. Da das Dreieck FPT1 gleichschenklig ist, und seine Symmetrieachse die Parabel in T1 berührt, kann man die Verlängerung von PT1 als an der Parabel in T1 reflektierten Strahl auffassen.
    Die Leitlinie ist ein Kreis mit unendlichem Radius. Wenn sich die Leitlinie g zum Kreis k entwickelt, gilt FT2 = QT2 ist. Die Eigenschaften des gleichschenkligen Dreiecks bleiben erhalten, und der vom Brennpunkt ausgehende Strahl fällt bei T2 nicht mehr horizontal aus. Er trifft abhängig von der Kreiskrümmung über T2 reflektiert die x-Achse in M. Dadurch entsteht ein zweiter Brennpunkt und somit wegen FT2 + MT2 = const. gemäß Gärtnerkonstruktion eine Ellipse.

    leitkreis2.gif (11593 Byte)

Aufgabentext - Unterrichtliche Voraussetzungen