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Mathe-Treff: Abituraufgabe LK Stochastik
von Karl-Heinz Krautkrämer, Kreisgymnasium Halle/Westfalen

Abituraufgabe für den Leistungskurs Mathematik.
Teilbereich: Stochastik.

88 Prozent leben friedlich mit den Nachbarn

Das konnte man am 12. Januar 1990 im Haller Kreisblatt lesen. Der zugehörige Artikel beruht auf einer Mitteilung der Wickert-Institute Tübingen-Illereichen, in der es u.a. heißt:

"Je älter die Menschen, desto mehr Spannung" ...
Unter den 18 - 29 Jahre alten Bundesbürgern haben 93% keinen Streit, unter den 30 - 49 Jahre alten sind es 92%, aber bei den Bundesbürgern älter als 50 Jahre finden sich nur noch 83% in Frieden mit Nachbarn.

Eine bezüglich der Altersstruktur in der BRD repräsentative Stichprobe von 50 Personen verteilt sich etwa wie folgt:

 Alter 18-29 30-45 ab 50
Anzahl   12    16    22

    1. Weisen Sie nach, daß die Zeitungsüberschrift eine sachgerechte Folgerung aus den Angaben der Wickert-Institute ist (unter Zugrundelegung der obigen Altersstruktur)!
    2. Angenommen, es liegt jemand mit seinen Nachbarn im Streit; mit welcher Wahrscheinlichkeit ist diese Person dann älter als 50 Jahre?

  1. Wir setzen im folgenden voraus, daß genau 88% der Bevölkerung mit ihren Nachbarn in Frieden leben.

    1. Aus einer Gruppe von 50 repräsentativ ausgesuchten Personen werden 5 zufällig ausgewählt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist darunter höchstens ein Streitsüchger?
    2. Aus den Einwohnern einer Stadt werden 10 Personen zufällig ausgewählt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit befinden sich darunter höchstens zwei Streitsüchtige?
  2. Die Wickert-Institute teilten weiter mit, daß auch ein Nord-Süd-Gefälle zu beobachten sei: Die Menschen im Norden seien friedlicher. In NRW z. B. seien weniger als 10% der Bevölkerung streitsüchtig.
    1. Ein nach Halle gezogener Bayer mißtraut nun dieser Angabe und will sie an repräsentativ ausgewählten Einwohnern aus Halle testen. Dazu benutzt er "p<0,1" als Nullhypothese (, wobei p die Wahrscheinlichkeit angibt, mit der jemand streitsüchtig ist). Erläutern Sie, was man in diesem Fall unter einem Fehler 1. bzw. 2. Art versteht!
      Geben Sie eine geeignete Entscheidungsregel an (Signifikanzniveau 0,05)! Wie groß ist dann die Irrtumswahrscheinlichkeit für p=0,15?
    2. Wir würde die Entscheidungsregel aussehen, wenn die repräsentative Stichprobe 464 Personen umfaßt (H0 und Signifikanzniveau wie oben)? Bestimmen Sie auch für diesen Fall die Irrtumswahrscheinlichkeit für p=0,15!

    (Bem.: Bei der Wickert-Umfrage wurden insgesamt 1754 Bundesbürger befragt, entsprechend dem Bevölkerungsanteil also etwa 464 aus NRW).

Unterrichtliche Voraussetzungen - Erwartungshorizont