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Mathe-Treff: Lösung der Abituraufgabe LK Stochastik
von Karl-Heinz Krautkrämer, Kreisgymnasium Halle/Westfalen

Lösung der Abituraufgabe für den Leistungskurs Mathematik.
Teilbereich: Stochastik.

  1. In der Menge der mindestens 18-jährigen Bundesbürger werden folgende Teilmengen definiert:
    F: Menge der mit den Nachbarn friedlich lebenden Menschen
    I : Menge der 18 bis 29 Jahre alten Menschen
    II: Menge der 30 bis 49 Jahre alten Menschen
    III: Menge der über 49 Jahre alten Menschen
    Aus dem Aufgabentext ergeben sich dann folgende Wahrscheinlichkeiten:
    P(I) == 0,24 P(II) == 0,32 P(III) = = 0,44
    PI(F) = 0,93 PII (F) = 0,92 PIII(F)= 0,83


    1. Nach dem Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit erhält man daraus

      Die Zeitungsmeldung ist also eine sachgerechte Folgerung aus den Angaben des Wickert-Instituts, da die Abrundung auf einen ganzzahligen Prozentsatz hier sinnvoll ist.
    2. Nach dem Satz von Bayes ergibt sich
    1. X bezeichne die Anzahl der "Streitsüchtigen" unter den 5 ausgewählten Personen; da es sich um eine "Ziehung ohne Zurücklegen" handelt, ist hypergeometrisch verteilt mit N = 50, K = 6, n = 5. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist dann

    2. X bezeichne jetzt die Anzahl der "Streitsüchtigen" unter den 10 ausgewählten Personen. Da es sich um eine kleine Stichprobe aus einer großen Gesamtheit handelt, kann X näherungsweise als binomialverteilt angesehen werden mit den Parametern n = 10 und p 0,12 (Wahrscheinlichkeit, daß eine zufällig ausgewählte Person mit Nachbarn im Streit liegt). Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit ergibt sich dann

    1.   Entscheidung nach Test für
      Realität H0 H1
      H0: p<0,1   Fehler 1. Art
      H1: p³0,1 Fehler 2. Art  


      X bezeichne die Anzahl der "Streitsüchtigen" unter den 100 repräsentativ ausgewählten Einwohnern von Halle; X ist näherungsweise binomialverteilt aus den gleichen Gründen wie in b 2). Ein Fehler 1. Art liegt vor, wenn ich aufgrund des Testergebnisses annehme, daß das Institut unrecht hat, obwohl die Einwohner von NRW zu mehr als 90% friedlich mit ihren Nachbarn leben. Bei einem Fehler 2. Art vermutet man nach dem Testergebnis, daß die Bürger in NRW zu mehr als 90% friedlich sind, obwohl sie in Wirklichkeit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 10% streitsüchtig sind.
      Man benötigt folgende Form der Entscheidungsregel:
      Verwirf H0 Û x > a
      P(Fehler 1. Art) £ 0,05
      Ü Pp=0,1(x > a) £ 0,05
      Û1-B(100;0,1;a) £ 0,05
      Û a ³ 15
      Um bei vorgegebenem Signifikanzniveau die Wahrscheinlichkeit für Fehler 2. Art so klein wie möglich zu halten, muß man a = 15 wählen und hat damit die Entscheidungsregel: Verwirf H0 Û x > 15.
      Inhaltlich bedeutet das:
      Man verwirft die Behauptung des Wickert-Instituts, daß in NRW weniger als 10% der Bevölkerung Nachbar-Streit haben, wenn unter 100 Befragten in Halle mehr als 15 sind, die mit Nachbarn Streit haben. Die gesuchte Irrtumswahrscheinlichkeit für p = 0,15 (eine Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art) ist dann
      b (0,15) = Pp=0,15(x£ 15) = B(100;0,15;15) » 0,568.

    2. X bezeichne die Anzahl der Streitsüchtigen in der Stichprobe vom Umfang
      m =464; X ist näherungsweise binomialverteilt aus den gleichen Gründen wie oben.
      Wegen V(X) = 464 × 0,9 × 0,1 41,76 > 9 können die binomialen Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe der Laplaceschen Näherungsformel ermittelt werden.
      Pp=0,1(x > a) £ 0,05
      Û B(464;0,1;a ) ³ 0,95


      a ³ 56,53

      Aus den gleichen Gründen wie oben nimmt man für a die kleinste natürliche Zahl, die diese Bedingung erfüllt, und erhält als optimale Entscheidungsregel:
      Verwirf H0 Û x > 57.
      Bei 464 befragten Personen verwirft man die Aussage des Wickert-Instituts ("In NRW haben weniger als 10% der Bevölkerung Streit mit Nachbarn") genau dann, wenn mindestens 58 der 464 Personen mit Nachbarn Streit haben.
      Die Irrtumswahrscheinlichkeit für p = 0,15 ist jetzt

      (Wegen des größeren Stichprobenumfangs ist sie jetzt wesentlich niedriger als vorher!)

Aufgabentext - Unterrichtliche Voraussetzungen