brlogo
untitled
   
   
   
 

Mathe-Treff: Abituraufgabe LK Stochastik

Abituraufgabe für den Leistungskurs Mathematik.
Teilbereich: Stochastik.

Ungekürzte Fassung nach den alten Zeitrichtlinien (Dauer: 5 Zeitstunden).

  1. Auf einem Prüfstand wurde die Lebensdauer ( in Stunden ) von 200 Glühbirnen einer Zufallsstichprobe ermittelt.
    Man erhielt folgende Ergebnisse:

    Klasse

    Lebensdauer in Stunden

    absolute Häufigkeit

    1

    (0;300)

    53

    2

    (300;600)

    41

    3

    (600;900)

    30

    4

    (900;1200)

    22

    5

    (1200;1500)

    16

    6

    (1500;1800)

    12

    7

    (1800;2100)

    9

    8

    (2100;2400)

    7

    9

    (2400;2700)

    5

    10

    (2700;3000)

    3

    11

    (3000;3300)

    2

    1. Zeichnen Sie ein Histogramm mit dem zugehörigen Häufigkeitspolygon.
    2. Berechnen Sie den praktischen Mittelwert und die empirische Standardabweichung.
    3. In wieviel Prozent aller Fälle beträgt die Lebensdauer
    • weniger als 600 Stunden,
    • mehr als 1200 Stunden,
    • zwischen 600 und 1800 Stunden?
  2. Im folgenden soll der empirischen Häufigkeitsverteilung eine theoretische Modellverteilung angepaßt werden. Die Form des Häufigkeitspolygons legt es nahe, eine Dichtefunktion f mit

    zu verwenden.
    1. Zeigen Sie, daß für a = b die Normierungsbedingung

      erfüllt ist.
    2. Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion F zu
    3. Berechnen Sie den Erwartungswert E(x).
      Bestimmen Sie a, indem Sie den praktischen Mittelwert = 871,5 als Schätzwert für E(x) benutzen.
  3. X sei eine stetige Zufallsvariable mit der Dichte Funktion

    und der Verteilungsfunktion (Exponentialverteilung)
    .
    1. Berechnen Sie V(x) und .
    2. Errechnen Sie P(X<600); P(X>1200); P(600<X<1800); P(X<x).
  4. Die Zeit T (in Stunden) für die Reparatur eines PKW genüge einer Exponentialverteilung mit
    (Erfahrungswert der Werkstatt). Berechnen Sie den Erwartungswert für die Wartezeit und die Wahrscheinlichkeit dafür, daß die Reparatur für einen PKW höchstens zwei Stunden dauert.

Gekürzte Fassung