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Mathe-Treff: Abituraufgabe LK Stochastik
von Bernd Westermann, Luise-von-Duisberg-Gymnasium Kempen

Abituraufgabe für den Leistungskurs Mathematik.
Teilbereich: Stochastik

  1. Es sei X die Anzahl der erfolgreichen Anwahlversuche.
    Für Tele2 ist X binomialverteilt mit n = 16 und p = 0,725. Mit der Bernoullischen Formel ergibt sich

    Für Otelo ist X binomialverteilt mit n = 400 und p = 0,995. Wegen npq < 9 lassen sich die Näherungsformeln von Laplace nicht verwenden. Da aber n groß, p klein und m = 2 nicht zu groß ist, lässt sich die Näherungsformel von Poisson verwenden:

  2. Es seien folgende Ereignisse definiert:
    M: Wahl von Mobilcom
    E: Wahl erfolgreich ("verfügbar")
    Mit dem Satz von Bayes erhält man dann

  3. Es sei n die Anzahl der Versuche und X die Anzahl der erfolgreichen Wählversuche:




  4. Es sei X die Anzahl der Fehlversuche und q die Wahrscheinlichkeit, mit Tele 2 einen Fehlversuch zu haben. Dann gilt:




    Damit ergibt sich ein Gesamtverlust von ca. 227 Minuten.
  5. Es handelt sich um einen rechtsseitigen Hypothesentest. Es sei X die Anzahl der Personen, die die Gesellschaft kennen.

    Es ist n = 1200 und a = 0,1. Wegen npq > 9 lässt sich die Laplacesche Näherungsformel anwenden.
    Als Ablehnungsbereich ergibt sich K = {381, ... , 1200}.
    Für die falsche Hypothese p = 0,33 ergibt sich als Fehler 2.Art:

    Für n = 375 kann die Nullhypothese bei a = 0,1 damit nicht abgelehnt werden.
  6. Es sind unterschiedliche Argumentationen möglich. So kann die Hypothese H0: p £ 0,1 (d.h. zureichende Verfügbarkeit) auf angemessenem Niveau nicht abgelehnt werden. Man ermittle z.B. den Ablehnungsbereich für a = 0,05.
    Auch bei Intervallschätzungen liegen 89,5% im Bereich, der nicht als unzureichend gilt. Es mag aber sein, dass Nichtmathematiker das alles nur wenig tröstet.

Aufgabentext - Unterrichtliche Voraussetzungen