brlogo
untitled
   
   
   
 

Mathe-Treff: Abituraufgabe LK Stochastik
von Dr. Peter Heiß, Gymnasium Korschenbroich

Abituraufgabe für den Leistungskurs Mathematik.
Teilbereich: Stochastik (1 Halbjahr)

Leuchtdioden, die weißes Licht abstrahlen, sollen wegen ihrer hohen Lebensdauer in vielen Anwendungen Glühlampen ersetzen. Untersuchungen haben gezeigt, dass die Wahrscheinlichkeit p einer Diode, während der nächsten Betriebsstunde zu versagen, (näherungsweise) unabhängig von der bisherigen Betriebsdauer durch p1 = 7·10-5 gegeben ist. Im Folgenden soll eine Poisson-Verteilung angenommen werden.

  1. Die Wahrscheinlichkeit , dass die Diode in den nächsten 24 h versagt, ist näherungsweise p = 24·p1 = 0,00168 (Dieser Wert soll bei den folgenden Teilaufgaben verwendet werden). Berechnen Sie den genauen Wert  auf 6 Dezimalstellen gerundet. Berechnen Sie den Wert auch für 24000 h. Für wie viele Betriebsstunden hat die Versagenswahrscheinlichkeit den Wert 0,1?
  2. In einem Betriebsgebäude der Herstellerfirma werden zu Test- und Demonstrationszwecken 5000 Dioden zur Beleuchtung installiert. Nach jeweils 24 h werden die defekten Dioden ersetzt. Wie viele Dioden müssen im Mittel ersetzt werden? Der Versuch soll 1 Jahr (365 Tage) dauern. An wie viel Tagen müssen voraussichtlich mehr als 15 Dioden ersetzt werden, an wie viel weniger als 5 ?
  3. Die ursprünglich eingebauten Dioden sind gekennzeichnet, so dass man jederzeit feststellen kann wie viele dieser Dioden noch funktionieren. Diese Zahl n(t) ist eine Funktion der Betriebsstundenzahl t. Zeigen Sie dass aus der Annahme, dass die Versagenswahrscheinlichkeit p1 = 7·10-5 unabhängig von der bisherigen Betriebsdauer der Diode ist, die Gesetzmäßigkeit
    n(t) = n0·e -p1·t folgt, wobei  n0 = 5000 die Anfangszahl der Dioden ist. Wie viele der ursprünglich eingebauten Dioden funktionieren am Versuchsende noch? Nach welcher Zeit wäre die Hälfte der Dioden defekt?
  4. Zufällig erfährt eine Konkurrenzfirma die Anzahl der an einem bestimmten Tag ausgewechselten Dioden. Durch einen rechtsseitigen Hypothesentest will sie sich ein eigenes Urteil über die Zuverlässigkeit der verwendeten Dioden bilden. Die Nullhypothese ist die Behauptung, dass die Versagenswahrscheinlichkeit für 24h einen Wert von p=0,00168 hat. Wo beginnt der Verwerfungsbereich bei einem Signifikanzniveau von 5%? Wie groß ist der a-Fehler ?

Unterrichtliche Voraussetzungen - Erwartungshorizont (liegt nicht vor)