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Mathe-Treff: Magazin
Bildungsstandards Mathematik: eine (nicht nur) aktuelle Diskussion

von Hans-Jürgen Elschenbroich

Der 9. November war in Deutschland immer schon ein Tag mit Bedeutung. In diesem Jahr finden in NRW zum ersten Mal in der Klasse 9 die Lernstandserhebungen im Fach Mathematik statt, und zwar am 9. November.  Der nachfolgende Artikel von Jürgen Elschenbroich informiert über die Vorgeschichte der Lernstandserhebungen, über PISA, Bildungsstandards, Leitideen und Kerncurricula.
Es handelt sich um eine leichte Überarbeitung  von einem Artikel, der zuerst  in Mathematik lehren, Februar 2004, erschien. Beachten Sie insbesondere auch die Internetliteraturangaben am Ende.

Nach PISA gibt es ein neues Zauberwort in der bildungspolitischen Diskussion: Bildungsstandards. Dieser Begriff ist plötzlich in aller Munde, oft im ansatzlosen Wechsel mit Kerncurriculum und häufig schlichtweg gleichgesetzt mit zentralen Abschlussprüfungen.
Eine schon fast hektische Betriebsamkeit ist ausgebrochen: In den einzelnen Bundesländern begannen 2002/2003 diverse Kommissionen ihre Arbeit, im Januar 2003 gab es eine Expertentagung der MNU mit Experten aus den Ländern und aus der Hochschule, im Juni 2003 erschien im Auftrag des Bundesbildungsministeriums eine Expertise der so genannten Klieme-Kommission zur Entwicklung nationaler Bildungsstandards und im Juli 2003 erschien der KMK-Entwurf zu Bildungsstandards.

Ein Blick zurück

Ein Blick ein Jahrhundert zurück ist interessant und zeigt in der Hektik der aktuellen Diskussion, dass viele der aktuellen Aspekte schon vor geraumer Zeit diskutiert wurden.
So gab es schon 1905 in den so genannten Meraner Reformvorschlägen die Forderung nach "einer gewissen Anpassung an die modernen Aufgaben der Schule". Zum einen galt es "den Lehrgang mehr als bisher dem natürlichen Gange der Entwicklung anzupassen“" und des weiteren "unter voller Anerkennung des formalen Bildungswertes der Mathematik doch auf alle einseitigen und praktisch bedeutungslosen Spezialkenntnisse zu verzichten, dagegen die Fähigkeit der mathematischen Betrachtung der uns umgebenden Erscheinungswelt zu möglichster Entwicklung zu bringen" und es wurde "eine weitgehende Freiheit des Lehrers in Bezug auf die Auswahl im einzelnen, auf die methodische Darbietung, die Verteilung der Arbeiten usw. selbstverständlich im Rahmen des allgemeinen Lehrplans“" empfohlen.
Die (bis zur Oberprima) angestrebten Ziele waren:

"ein wissenschaftlicher Überblick über die Gliederung des auf der Schule behandelten Lehrstoffs,       
eine gewisse Fähigkeit der mathematischen Auffassung und ihrer Verwertung für die Durchführung von Einzelaufgaben,
endlich und vor allem die Einsicht in die Bedeutung der Mathematik für die moderne Kultur überhaupt." [Gutzmer]

Durchaus modern anmutende Gedanken. Es folgte ein "Mathematischer Lehrplan für die Gymnasien“", der in der Knappheit eines Kernlehrplans den Stoff des Mathematikunterrichts von der Sexta bis zur Oberprima auf etwa 3 Seiten formulierte, gefolgt von 5 Seiten didaktischen und methodischen "Erläuterungen"!
In den folgenden Jahrzehnten nahm dann der Umfang der Richtlinien immer mehr zu bis zur Buchstärke, Höhepunkt waren die Curricula der 70er Jahre. Zugrunde lag dem wohl die stille Annahme, dass immer detailliertere Vorgaben auch zu einem immer besseren Unterricht führen müssten.

TIMSS, PISA und die Folgen

Die Ergebnisse der internationalen Vergleichstudien der letzten Jahre machten schmerzhaft deutlich, dass diese Annnahme und das Bild von der Leistungsfähigkeit des deutschen Schulsystems ein sorgsam gepflegter Irrtum waren. Bei dem großen Aufwand für die Vorgaben für den Unterricht (des "Inputs", wie man heute sagt) wurde die Überprüfung der Ergebnisse (des "Outputs") fast völlig vernachlässigt.
Das Mathematikverständnis von PISA ist angelsächsisch geprägt vom Konzept der mathematical literacy. Dies wird mit mathematischer Grundbildung übersetzt, war aber mit der bis dahin tradierten Vorstellung davon wohl nicht ganz deckungsgleich.
"Mathematische Grundbildung ist die Fähigkeit einer Person, die Rolle zu erkennen und zu verstehen, die Mathematik in der Welt spielt, fundierte mathematische Urteile abzugeben und sich auf eine Weise mit der Mathematik zu befassen, die den Anforderungen des gegenwärtigen und künftigen Lebens dieser Person als konstruktive,, engagiertem und reflektierendem Bürger entspricht." [OECD PISA]
Die schon länger stattfindende Diskussion über fundamentale/ zentrale Ideen (Schweiger, Schreiber, Heymann) ist ebenfalls nahe am PISA-Ansatz der Leitideen, die fachgebietsübergreifende und jahrgangsübergreifende Konzepte sind und Arbeiten auf verschiedenen Niveaus ermöglichen sollen. Im PISA-Rahmenkonzept werden als Beispiele für solche Leitideen genannt: Zufall, Veränderung und Wachstum, Abhängigkeit und Beziehungen, Raum und Form.
In die Diskussion neu hinzugekommen sind vor allem die Kompetenzen, die den Output-orientierten Ansatz der Untersuchung repräsentieren und denen sich allgemeine Bildungsziele und Leitideen überprüfbar konkretisieren müssen. Die im PISA-Rahmenkonzept benannten mathematischen Kompetenzen sind:


  • "die Fähigkeit, mathematisch zu denken
  • die Fähigkeit, mathematisch zu argumentieren
  • die Fähigkeit zur mathematischen Modellierung
  • die Fähigkeit, Probleme zu stellen und zu lösen
  • die Fähigkeit, mathematische Darstellungen zu nutzen
  • die Fähigkeit, mit den symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umzugehen
  • die Fähigkeit, zu kommunizieren
  • die Fähigkeit, Hilfsmittel einzusetzen und zu gebrauchen."

In dem Zusammenhang neu ist weiter die Definition von Kompetenzklassen, um die Kompetenzen operationalisieren zu können. Das internationale Rahmenkonzept benennt drei Kompetenzklassen:

  • "Kompetenzklasse 1: Wiedergabe, Definitionen und Berechnungen.
  • Kompetenzklasse 2: Querverbindungen und Zusammenhänge herstellen, um Probleme zu lösen
  • Kompetenzklasse 3: Einsichtsvolles mathematisches Denken und Verallgemeinern."

MNU-Tagung und -Empfehlungen

Der Förderverein MNU hatte in der Tradition seiner Lehrplan-Tagungen im Januar 2003 eine Experten-Tagung zum Thema Bildungsstandards initiiert. Fast alle Bundesländer schickten Experten aus Ministerien, Landesinstituten und Richtlinienkommissionen. Das Ergebnis liegt in Form von "Empfehlungen" vor [MNU]. Während der Tagung dauerte es einige Zeit, bis sich klärte, dass zwei Personen in der Regel auch zwei unterschiedliche Vorstellungen von Standards haben und dass es zum gegenseitigen Verständnis nötig ist, zu klären, was der Gesprächspartner unter diesem gleich lautenden Begriff versteht und damit intendiert. Die diversen Varianten von Standards zu erkennen und einzuordnen ist eins der wichtigen Ergebnisse der Tagung, das in einem zweidimensionalen Schema mündete. In der einen Dimension wird zwischen inhaltsbezogenen, prozessbezogenen und leistungsbezogenen Aspekten unterschieden, in der anderen Dimension wird unterschieden, ob man ein Ideal formuliert (wie es z.B. die amerikanischen NCTM-Standards tun), einen als Durchschnitt erwarteten Regelstandard (wie es derzeit die meisten Bundesländer anstreben), einen Minimalstandard, der möglichst von allen zu erreichen ist (wie es die Klieme-Kommission in ihrer Expertise vorschlägt) oder eine noch nach Jahren vorhandene langfristige Verfügbarkeit, wie sie in Österreich in der Diskussion ist.
In dieser Bad Honnefer Tagung zeigte sich im Austausch der Experten eine vergleichsweise hohe Übereinstimmung in grundsätzlichen Ansätzen, die deutlich PISA-geprägt waren. Es bestand Konsens, dass man Bildungsstandards von allgemeinen Bildungszielen des Fachs aus formulieren müsse, dazu bezog man sich auf die drei Grunderfahrungen Heinrich Winters: Mathematik als anwendbare Wissenschaft, als formale Wissenschaft und als heuristisches Betätigungsfeld. In der nächsten Stufe der Konkretisierung ging es um die Formulierung von Leitideen wie Zahl, Maß, räumliche und ebene Struktur, funktionaler Zusammenhang, Algorithmus, Daten und Zufall, die als "rote Fäden" das Fach über die Jahre hinweg strukturieren.
Als mathematische Kompetenzen wurden hier benannt: mathematisch zu denken, mathematisch zu argumentieren, mathematisch zu modellieren, Probleme zu stellen und lösen, mathematische Darstellungen zu nutzen, mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umzugehen, zu kommunizieren, Hilfsmittel einzusetzen und zu gebrauchen.

KMK-Bildungsstandards

Im Juli 2003 stellte die KMK ihren Entwurf zu Bildungsstandards für den mittleren Schulabschluss vor mit dem Anspruch: „Diese Bildungsstandards beschreiben, was Schülerinnen und Schüler mit Erreichen dieses Schulabschlusses im Mathematikunterricht gelernt haben sollen“. Auffällig ist, dass diese Standards nur abschlussbezogen und nicht schulformbezogen sind!
Zunächst werden drei Grunderfahrungen als Bildungsziel benannt:

  • "soziale, kulturelle und technische Erscheinungen und Vorgänge mit Hilfe der Mathematik wahrnehmen, verstehen und unter Nutzung mathematischer Gesichtspunkte beurteilen ?
  • Mathematik mit ihrer Sprache, ihren Symbolen, Bildern und Formeln in der Bedeutung für die Beschreibung von Arbeiten und Problemen inner- und außerhalb der Mathematik kennen und begreifen.
  • in der Bearbeitung von Fragen und Problemen mit mathematischen Mitteln allgemeine Problemlösefähigkeit erwerben." [KMK]

In der Auseinandersetzung mit mathematischen Inhalten werden dann folgende allgemeine Kompetenzen benannt:

    „
  • "mathematisch denken
  • mathematisch argumentieren
  • mathematisch modellieren
  • Probleme mathematisch lösen
  • mathematische Darstellungen verwenden
  • mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen
  • kommunizieren.
  • Hilfsmittel nutzen".

Die inhaltsbezogenen Kompetenzen werden schließlich entlang von mathematischen Leitideen formuliert, nämlich:

  • "Zahl
  • Messen
  • Strukturieren in der Ebene und im Raum
  • funktionaler Zusammenhang
  • Algorithmen, Kalküle und Heurismen
  • Daten und Zufall". [KMK]
  • Statt der PISA-typischen Kompetenzklassen werden dann 3 Anforderungsbereiche definiert, die sowohl an PISA als auch an die Abitur-Gepflogenheiten angelehnt sind:

    Anforderungsbereich I: Reproduzieren
    Anforderungsbereich II: Verbinden
    Anforderungsbereich III: Verallgemeinern/ Reflektieren.

    Zehn Aufgaben-Beispiele sollen am Ende das Zusammenspiel von Leitideen, Kompetenzen und Anforderungsbereichen erhellen und konkretisieren.

    Kerncurriculum

    Die vergangenen Richtliniengenerationen legten immer detaillierter fest, was wie wann zu unterrichten ist, sie waren zwangsläufig input-orientiert. In der aktuellen Diskussion wird dies deutlich zurückgefahren. Es ist vom Kernlehrplan, vom Kerncurriculum die Rede. Es soll eine Formulierung von jahrgangsbezogenen Inhalten und von Beispielaufgaben erfolgen, die die Bildungsziele, Leitideen und Kompetenzen konkretisieren, aber auf einen als unentbehrlich erachteten Kern bezogen. "Kern" besagt dabei, dass sich der Bildungsgang nicht darauf beschränken soll und darf, sondern dass es Zusätzliches geben muss, was nun aber den Schulen Freiheit für eine eigene Schwerpunktsetzung bietet.
    Das Zusammenspiel zwischen Bildungsstandards und Kerncurriculum lässt sich in folgendem Schema veranschaulichen:

    Leitideen und Kompetenzen liegen im Schnittbereich, benutzt man ein anderes Bild, kann man auch sagen, sie bilden die Brücke.
    Bemerkenswert in der Entwicklung solcher Kernlehrpläne ist derzeit Nordrhein-Westfalen, dass einen Entwurf für die Kernlehrpläne der einzelnen Schulformen Gymnasium, Gesamtschule, Realschule, Hauptschule in einer gemeinsamen Kommission entwickelt hat [MSJK]. Die Kernlehrpläne sind infolgedessen in der Gliederung und in weiten Teilen der Formulierung identisch, das Ringen um die Herausarbeitung eines gemeinsamen Kerns wird deutlich. Dies war auch gleichzeitig Anlass für Kritik im Lande: Die Unterschiede der Schulformen würden verwischt. Diese Unterschiede müssen dann in der Komplexität der Aufgaben und in den angestrebten Kompetenzklassen deutlich werden.

    Evaluierung

    Kernlehrpläne sind auf den ersten Blick ein Schritt zurück in Richtung Input-Orientierung. Soll mit der Output-Orientierung ernst gemacht werden, muss der Output natürlich auch gemessen, evaluiert werden. Die zu erwerbenden Kompetenzen müssen so formuliert werden, dass sie auch operationalisierbar sind. Dies wird sicher bei den einzelnen Kompetenzen unterschiedlich schwierig sein. Des weiteren stellt sich die Frage, ob die bisherige Schwerpunktsetzung der schulischen Leistungsüberprüfung bei den schriftlichen Klassenarbeiten noch adäquat ist.
    Wie man mit Methoden der empirischen Bildungsforschung Kompetenzen überprüfen kann, hat uns PISA vorgemacht. Hier hat Deutschland im internationalen Vergleich sicher noch Nachholbedarf. Derzeit ist in der Diskussion, ob ein nationales Testinstitut gegründet wird. Wie auch immer diese Entwicklung weiter geht (es sind ja auch andere Evaluationsformen möglich), zwei Aspekte sind in jedem Fall zu betonen:

    • Zentrale Abschlussprüfungen erfüllen nicht die Anforderungen an solche empirischen Untersuchungen. Empirische Tests können umgekehrt bei Schulen mit zentralen und mit dezentralen Abschlussprüfungen durchgeführt werden. Nur wenn sie von den Verfahren der schulischen Leistungsmessung getrennt bleiben, können sie auch die Validität dieser Leistungsmessung mit überprüfen.
    • Empirische Tests beruhen auf repräsentativen statistischen Verfahren und sind weder zur Notenvergabe noch zum Ranking-Vergleich einzelner Schulen geeignet. Sie ermöglichen nur eine Gesamtaussage über die Qualität des Bildungswesens.

    Wenn die geplante Umorientierung auf Standards Erfolg haben soll, muss sie durch intensive Lehrerfortbildungen begleitet werden, sich schon in der Lehrerausbildung niederschlagen und es muss deutlich werden, dass nicht ein Standard-Unterricht, in dem Batterien von Testaufgaben gedrillt werden, Ziel ist, sondern die Verbesserung von Unterricht in all seinen Facetten.

    Literatur

    BMBF: Expertise Zur Entwicklung nationaler Bildungsstandards. Stand juni 2003.
    http://www.bmbf.de/pub/zur_entwicklung_nationaler_bildungsstandards.pdf 
    KMK: Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Mittleren Schulabschluss.
    Entwurf (Stand vom 04.07.2003)
    http://www.kmk.org/aktuell/Bildungsstandards/Mathematik04072003.pdf  
    MNU: Empfehlungen zum Umgang mit Bildungsstandards im Fach Mathematik. In: MNU Heft 4/2003.
    http://www.mnu.de/bildstand-math.pdf 
     MSJK: Kernlehrpläne Mathematikunterricht Sekundarstufe I Nordrhein-Westfalen. Stand 5. März 2005. Ministerium für Schule, Jugend und Kinder, Düsseldorf.
    http://www.learn-line.nrw.de/angebote/kernlehrplaene/documents/klp_m_gy.pdf 
    http://www.learn-line.nrw.de/angebote/kernlehrplaene/documents/klp_m_ge.pdf 
    http://www.learn-line.nrw.de/angebote/kernlehrplaene/documents/klp_m_rs.pdf 
    http://www.learn-line.nrw.de/angebote/kernlehrplaene/documents/klp_m_hs.pdf 
    OECD PISA Konsortium: Internationales und nationales Rahmenkonzept für die Erfassung von mathematischer Grundbildung in PISA.
    http://www.mpib-berlin.mpg.de/en/Pisa/pdfs/KurzFrameworkMaths.pdf 
    Gutzmer, A.: Bericht betreffend den Unterricht in der Mathematik an den neuntklassigen höheren Lehranstalten. In: Gutzmer, A. (Hrsg.): Die Tätigkeit der Unterrichtskommission der Gesellschaft deutscher Naturforscher und Ärzte. Leipzig und Berlin, Teubner 1908, S. 104-111
    Neubrand, M.: Die Konzepte "mathematical literacy" und "mathematische Grundbildung" in der PISA-Studie. In: Beiträge zum Mathematikunterricht 2001. Franzbecker, Hildesheim.
    Winter, H.: Mathematikunterricht und Allgemeinbildung. In: Mitteilungen der Gesellschaft für Mathematik Nr. 61, S. 37-46