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Vergleichsarbeit Analysis Stufe 11

im 2. Halbjahr des Schuljahres 1999/2000

Lösung

Allgemeine Vorbemerkung:

Die Darstellung der algebraischen Umformungen ist an mehreren Stellen sehr gedrängt, um Kopierkosten zu sparen. Aus demselben Grund sind die Zeichnungen zu den Aufgaben zusammengefasst.

Aufgabe 1:

  1. f ’(x) = 2ax + b.
    Es gilt:
    f(3)= 3 Ù f’(3) = -2 Û 9a + 3b = 3 Ù 6a + b= -2 Û 3a + b = 1 Ù 6a + b= -2
    Û 3a = -3 Ù 6a + b = -2 Û a = -1 Ù -6 + b = -2 Û a = -1 Ù b = 4
    Die gesuchte Funktion f ist also gegeben durch f(x) = -x2 + 4x.
  2. Es gilt f ’(x) = -2x + 4. Es ist allgemein t(x) = f ’(x0)(x - x0) + f(x0), also ergibt sich hier: t(x) = 2(x-1) + 3 = 2x + 1. Für den Steigungswinkel a der Tangente gilt:
    tan
    (a ) = f ’(1) = 2, also a = 63,4349..°.
  3. Die gesuchte Normale n hat die Steigung -0,5. Sie verläuft durch (1; 3).
    Also gilt: n(x) = -0,5(x-1) + 3 = -0,5x + 3,5. Geforderte Zeichnung siehe unten.
  4. Das Dreieck hat einen Inhalt von 0,5· (3,5-1)· 1 FE = 1,25 FE.
  5. Ein notwendiges Kriterium für das Vorliegen einer Wendestelle von g an einer Stelle xw ist: g’’(xw)=0.
    Rechnung: g’’(x) = 0 Û f’(x) = 0 Û -2x + 4 = 0 Û x = 2
    Allenfalls bei x = 2 kann also eine Wendestelle vorliegen.

    Ein hinreichendes Kriterium für das Vorliegen einer Wendestelle von g an einer Stelle xw ist: g’’(xw) = 0 Ù g’’’(xw) ¹ 0. Rechnung: g’’’(2) = f’’(2) = -2 < 0
    x= 2 ist also die einzige Wendestelle von g.

(Selbstverständlich kann hier auch mit dem Scheitelpunkt der Parabel f argumentiert werden.)

Aufgabe 2:

  1. Skizze siehe unten
  2. Der gesuchte Bereich ist der zwischen den Nullstellen von f. Es gilt:
    f(x) = 0 Û -2x3 + 24x2 = 0 Û 2x2(-x+12) = 0 Û x=0 oder -x + 12 = 0.
    Der gesuchte Bereich ist das abgeschlossene Intervall [ 0; 12 ].
  3. Ein notwendiges Kriterium für das Vorliegen eines lokalen Extremums an einer Stelle xE ist: f ’(xE) = 0.
    Rechnung:
    f ’(x) = 0 Û -6x2 + 48x = 0 Û -6x(x-8) = 0 Û x = 0 Ú x = 8

    Ein hinreichendes Kriterium für das Vorliegen eines lokalen Extremums an einer Stelle xE ist: f ’(xE) = 0 Ù f ’’(xE) ¹ 0.
    Rechnung: f ’’(x) = -12x + 48 Þ f´’’(8) = -48 < 0
    An der Stelle xE = 8 liegt ein lokales Maximum vom Wert f(8) = 512 vor.

    Da die Funktion f an den Rändern des Intervalls [ 0; 12 ] jeweils den Funktionswert 0 hat, handelt es sich bezogen auf diesen Bereich um ein absolutes Maximum.
  4. Die mittlere Änderungsrate von f über einem Intervall [ a; b ] Í [0 ; 12 ],
    also der Term (f(b)-f(a)) / (b-a), beschreibt in diesem Zusammenhang die Durchschnittsgeschwindigkeit, mit der die Wassermenge in der Zeit von a bis b zunimmt / abnimmt.
    Die lokale Änderungsrate , also der Wert f ’(x0), beschreibt hier die Momentangeschwindigkeit, mit der die Wassermenge zum Zeitpunkt x0 zunimmt / abnimmt.
  5. Ein notwendiges Kriterium für das Vorliegen eines Wendepunktes an einer Stelle xW ist: f ’’(xW) = 0.
    Rechnung:
    f ’’(x) = 0 Û -12x+48 = 0 Û x = 4

    Ein hinreichendes Kriterium für das Vorliegen eines Wendepunktes an einer Stelle xW ist: f ’’(xW) = 0 Ù f ’’’(xW) ¹ 0.
    Rechnung: f ’’’(x) = -12 Þ f ’’’(4) = -12 ¹ 0
    An der Stelle xW = 4 liegt ein Wendepunkt vor.

    Es handelt sich um den Punkt (4; f(4)) = (4; 256)
  6. Die Wendestelle ist in diesem Zusammenhang derjenige Zeitpunkt, an welchem die Wassermenge im Pumpspeicherwerk mit der größten Geschwindigkeit zunimmt / abnimmt.


Aufgabe 3:

  1. Unter der Tangente an den Graphen einer in x0 differenzierbaren Funktion f an der Stelle x0 versteht man die Gerade, die durch den Punkt (x0; f(x0)) verläuft und die Steigung f’(x0) hat.
  2. f(x)= x3 - x2 + 2 Þ f´’(x) = 3x2 - 2x
    Die Tangentengleichung ist: t(x) = f ’(3)(x - 3) + 20 = 21x - 43
    Berechnung der gemeinsamen Punkte von Funktionsgraph und Tangente:
    f(x) = t(x) Û x3 - x2 + 2 = 21x - 43 Û x3 - x2 - 21x + 45 = 0
    Û
    (x-3)(x2+2x-15) = 0 Û (x-3) (x-3)(x+5) = 0 Û x = 3 Ú x = -5
    Die gemeinsamen Punkte sind der Berührpunkt (3;20) sowie der Punkt (-5; -148).
  3. f(x) = ax2 Þ f´’(x) = 2ax
    Die Tangentengleichung für die Stelle 2 ist t(x) = 4a(x - 2) + 4a = 4ax - 4a.
    Es ist f(x) = t(x) Û ax2 - 4ax - 4a = 0 Û a(x-2)2 = 0 Û x = 2 (da a ¹ 0)
  4. Es ist P = (p;p2).
    Es ist also Q=(0;p2). Dann hat nach Konstruktion der Punkt R die Koordinaten (0;-p2).
    Die Tangente an den Graphen von f in P hat die Gleichung
    t(x) = 2p(x - p) + p2 = 2px - 2p2 + p2 = 2px - p2.
    Ihr Schnittpunkt mit der y-Achse ist offenbar der Punkt R. Zeichnung hierzu siehe unten.


Zeichnung zur Aufgabe 1c):

Zeichnung zur Aufgabe 2a):

Zeichnung zur Aufgabe 3d):